Review Jurnal "Structuralism As A Philosophy Of Mathematical Practice"

JUDUL

Structuralism As A Philosophy Of Mathematical Practice

PENULIS

Jesica Carter (2006)

ISI/KONTEN

Pendahuluan

Pada bagian ini dijelaskan tentang asal mula berkembangnya strukturisme dalam matematika. Strukturalisme saat ini dipandang sebagai salah satu filosofi yang lebih menjanjikan bagi matematika, sejak munculnya klaim bahwa matematika adalah ilmu yang mempelajari struktur yang pada akhirnya didukung oleh berbagai matematika terapan. Matematikawan sering menyebutkan struktur ketika berbicara tentang subjek mereka. Seperti pernyataan dari Eilenberg: "Di antara tren yang paling mencolok dalam matematika modern adalah munculnya aljabar modern. Hampir setiap teori matematika saat ini memiliki aspek aljabar.”

Ada banyak motif yang berbeda atau alasan untuk mengadopsi filosofi strukturalis matematika selain mencoba untuk menggambarkan matematika terapan. Beberapa di antaranya adalah sebagai berikut. Pertama, strukturalisme dapat dianggap sebagai paham yang menunjukkan apa sebenarnya matematika itu, yaitu matematika adalah struktur. Ini adalah klaim ontologis dan terletak di belakang versi strukturalisme Shapiro seperti yang disajikan dalam bukunya 'Filsafat Matematika: Struktur dan Ontologi (1997). Kedua, strukturalisme dapat dianggap sebagai penyedia landasan untuk matematika dalam arti bahwa struktur adalah isi matematika yang dapat dikurangi dalam upaya untuk mengamankan matematika. Suatu struktur di sini dapat dipahami sebagai 'seluruh model yang memenuhi koleksi axioma-axioma tertentu '. Ketiga, ada arti lain di mana strukturalisme dapat dianggap sebagai dasar, yaitu sebagai cara untuk mengatur atau "struktur" matematika. Hal ini dilakukan oleh Bourbaki. Akhirnya, strukturalisme adalah hasil dari mencoba untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan filosofis tertentu tentang matematika.

Terdapat sejumlah artikulasi yang berbeda dalam pandangan strukturalis di kancah kontemporer, dan bahwa tidak semua dari mereka dipengaruhi oleh kritik yang disajikan dalam makalah. Penulis memilih untuk tidak membahas versi strukturalisme secara detail, tetapi hanya menunjukkan aspek-aspek tertentu dari posisi strukturalis yang berbeda yang relevan dengan kriktiknya. Pada bagian-bagian berikut disajikan aspek-aspek yang berbeda tersebut.

                                                        

Contoh Berbeda dari Matematika

Contoh-contoh yang menggambarkan penggunaan struktur adalah sebagai berikut:

1)      Struktur pada sebuah himpunan yang digunakan untuk menghitung invariants dari himpunan tersebut

2)      Sebuah kasus di mana "struktur" diekstrak untuk mengubah hubungan antara objek.

Berikut disajikan penjelasan lebih lanjut.

·           Struktur Pada Sebuah Himpunan

Pada Aljabar Kontemporer, pernyataan “Struktur dalam sebuah himpunan” digunakan dalam berbagai konteks. Tiap konteks umumnya dimulai dengan satu himpunan tertentu.

Sebuah contoh dari topologi adalah ruang topologi, struktur adalah bundel vektor pada himpunan ini (yang terdiri dari ruang vektor terbatas terkait untuk setiap titik dalam ruang topologi) dan invariannya bisa jadi adalah grup K₀ yang didefinisikan sebagai quotient tertentu dari vektor bundle. Demikian pula, dalam geometri aljabar, himpunannya adalah berbagai bentuk aljabar, struktur terdiri gabungan dan memberikan kemungkinan untuk menghitung grup K₀ dari gabungan.

Penekanannya adalah bahwa apa yang penting dalam hal ini adalah hubungan yang ada antara himpunan, struktur dan invarian.

·           Teori Galois: Contoh Sederhana

Pada contoh teori Galois, polinomial Q dapat dianggap sebagai "himpunan", himpunan persamaan yang dipenuhi oleh akar sebagai struktur dan kelompok Galois adalah invarian yang dibangun dalam rangka untuk memperoleh informasi tentang polinomial. Apa yang ingin disampaikan penulis adalah bahwa ketika membangun salah satu struktur tertentu atas beberapa himpunan untuk mendapatkan informasi tentang ini adalah mungkin karena adanya hubungan antara himpunan dan struktur. Jadi klaim bahwa matematika adalah ilmu yang mempelajari struktur harus diubah untuk menjelaskan  hubungan yang dapat didefinisikan antar struktur. Selain itu, dapat dipertanyakan apakah himpunan yang dimulai dari satu adalah struktur. Sebagai contoh, adalah apakah polinomial adalah struktur? Apakah ruang topologi atau berbagai aljabar adalah struktur? Jawabannya tergantung pada konteks. Salah satu cara untuk berbicara tentang ruang topologi adalah bahwa hal itu terdiri dari satu himpunan yang memiliki struktur ruang topologi. Tapi topologist hanya akan memulai dengan struktur topologi. Berbagai aljabar dapat dianggap sebagai yang diberikan oleh satu relasi himpunan, yaitu banyak persamaan yang mendefinisikan itu. Pada umumnya himpunan memiliki berbagai jenis struktur. Sebagai contoh, berbagai jenis aljabar juga dilengkapi dengan struktur topologi.

·           Mengekstak Struktur

Dengan contoh ini, penulis bermaksud untuk menggambarkan bahwa struktur tidak selalu fokus dalam matematika terapan. Dalam hal ini bahkan tidak akan jelas yang dimaksud dengan struktur. Dengan sedikit usaha, namun, kami akan melihat, himpunan lah saya telah menyajikan kasus, bahwa adalah mungkin untuk mengidentifikasi berbagai struktur dari seluruh kasus. Tapi hal ini akan mungkin dilakukan dalam dalam beberapa cara. Ini akan menjadi jelas bahwa struktur dapat dianggap sebagai objek pada suatu tempat, tergantung apa yang akan dilakukan dengan objek tersebut. Hasil yang dibahas penulis disini menyangkut dengan barisan, yang disebut barisan Mayer-Vietoris. Barisan tertentu dirumuskan oleh Ranicki dan Yamasaki (1995). Masalah dengan barisan ini adalah bahwa hal itu tidak eksak, tetapi hasil yang akan disampaikan penulis disini adalah bahwa ketika menempatkan barisan ini dalam kategori tertentu maka barisan tersebut dapat menjadi eksak.

·           Struktur dan Modulo Geometri

Menjelaskan hal-hal dengan cara ini menunjukkan bahwa adalah mungkin untuk mengidentifikasi berbagai contoh struktur, membuat klaim 'Matematika adalah ilmu struktur' menjadi masuk akal. Deskripsi ini, bagaimanapun, menekan fakta-fakta tertentu tentang matematika terapan. Pertama, saya mencatat bahwa entitas matematika dapat dianggap sebagai struktur dengan cara yang berbeda. Ini berlaku untuk modul geometris serta kelompok proyektif dan kelompok Whitehead; keduanya bisa dianggap sebagai anggota kategori modul geometris. Kedua, struktur atau benda dapat dibuat dari sifat objek yang sudah ada dan ditempatkan dalam struktur baru.

Pembahasan

Tulisan ini dimulai dengan menanyakan apakah matematika adalah studi tentang struktur. Sejauh ini saya telah menunjukkan bahwa bagian dari aktivitas matematika dapat digambarkan dengan mengklaim bahwa mempelajari struktur untuk menentukan sifat dari himpunan tertentu (atau entitas) melalui hubungan yang dapat didefinisikan antara mereka. Dalam matematika kita juga berbicara tentang himpunan memiliki struktur tertentu atau, yang ditetapkan dapat diberikan struktur tertentu. Perbedaan antara dua kasus terakhir adalah bahwa dalam pertama adalah mungkin untuk menunjukkan bahwa himpunan dengan hubungan yang diberikan dapat ditampilkan untuk memenuhi aksioma yang relevan dari struktur (seperti pada contoh di tulisan ini, di mana K~ 0 dapat ditunjukkan menjadi kelompok abelian). Dalam kasus terakhir, kita pertama mendefinisikan hubungan tertentu di himpunan dan maka salah satu dapat menunjukkan bahwa himpunan bersama-sama dengan hubungan ini memenuhi aksioma yang relevan. Dalam ketiga kasus ada sesuatu yang lebih dalam pengaturan dari struktur. Dalam kasus pertama ada adalah baik yang mendasari himpunan dan hubungan antara himpunan ini dan struktur. Dalam kasus kedua dan ketiga ada himpunan yang 'memiliki struktur tertentu'. Dalam prakteknya seorang matematikawan tidak menekankan bahwa himpunan ini memiliki struktur apapun. Artinya, matematika terkadang studi himpunan, baik melalui struktur yang mereka miliki, atau struktur yang diberikan kepada mereka, atau struktur yang dapat didefinisikan atas mereka.

Laporan ini mengklaim bahwa himpunan objek yang memiliki sifat tertentu dalam kategori pertama akan memiliki sifat tertentu lainnya dalam kategori berikutnya. Penulis kembali ke klaim bahwa posisi strukturalis teori kategori tidak akan terpengaruh oleh masalah yang ditimbulkan disini. Pertama klaim mereka bahwa matematika adalah studi tentang sistem terstruktur daripada struktur sesuai dengan deskripsi yang dibuat di atas. Kedua, seperti yang disebutkan sebelumnya, mereka dapat secara alami menjelaskan hubungan yang jelas antara berbagai himpunan atau struktur melalui gagasan tentang functor yang memiliki tempat alami dalam teori kategori.

Akhirnya, penulis mendukung klaim bahwa matematika terapan terdiri dari kegiatan. Dalam kasus pertama membangun struktur di atas satu himpunan dan kemudian dari struktur ini invarian atas himpunan. Kemudian satu studi invarian ini dalam rangka untuk menentukan sifat tertentu dari himpunan. Dalam kasus teori kategori, pertama kelas proyektif dan kelompok Whitehead dibangun dari modul geometris dan peta antara mereka. Mereka kemudian ditempatkan dalam kategori lain (kategori functor).

KEJELASAN ISI

Pada artikel ini, penulis telah menjelaskan dengan baik bagaimana pemahamannya terhadap strukturisme. Hal-hal apa yang membedakan struktur dan bukan struktur dan bagaimana menjelaskan klaim diwal bahwa “matematika adalah kajian tentang struktur”. Penulis telah memberikan contoh-contoh yang sangat jelas. Bahasa yang digunakan dalam artikel ini mudah dimengerti pada akhir pembahasan, pembaca dapat menangkap dengan baik tujuan dari penulisan.

KESIMPULAN

Makalah ini disajikan untuk menjelaskan pernyataan 'Matematika adalah studi tentang struktur' yang dibandingkan dengan matematika terapan yang sebenarnya. Penulis menyajikan dua contoh dari matematika terapan kontemporer di mana gagasan struktur memainkan peran yang berbeda. Dalam kasus pertama struktur didefinisikan lebih dari satu himpunan tertentu. Dijelaskan, pertama bahwa himpunan ini mungkin tidak dianggap sebagai struktur dan kedua bahwa apa yang penting untuk matematika terapan adalah hubungan yang ada antara struktur dan himpunan. Dalam kasus kedua, dari topologi aljabar, satu titik adalah sebuah objek yang dapat menjadi sebuah tempat di struktur yang berbeda. Satu struktur yang dipilih untuk ditempatkan dalam sutau objek tergantung pada apa yang ingin lakukan dengan struktur itu. Secara keseluruhan makalah ini berpendapat bahwa semua objek matematika pasti berkaitan dengan struktur, tetapi tidak semua struktur adalah bagian dari matematika.

Jurnalnya dapa dilihat disini.