A. JUDUL
Imre
Lakatos’s Philosophy of Mathematics
Penulis: Gabor Kutrovaz
B. ISI/KONTEN
·
Pengantar
Imre Lakatos (1922-1974) dikenal di
seluruh dunia oleh setidaknya dua kelompok yang berbeda dari filsuf. Untuk
filsuf ilmu pengetahuan, ia adalah pembela besar rasionalitas ilmiah: ia
menyerah pada ide rasionalitas metodologis 'instan' dan diganti dengan
metodologi historiografi berdasarkan gagasan 'rekonstruksi rasional'. Untuk
filsuf matematika, dia adalah seorang penyerang hebat di sekolah formalis, dan
bukan fitur formal aksiomatis matematika ia menekankan pada heuristik, proses
sejarah bangunan teori dan konseptualisasi. Kedua 'inkarnasi' dari Lakatos
jarang dibahas dalam kerangka filosofis yang unik, dan bukan tanpa alasan:
Lakatos sendiri tidak pernah benar-benar mencoba untuk menyelaraskan dua bidang
ini menarik. Ada tanda-tanda yang menunjukkan bahwa ia dimaksudkan untuk
membangun dasar bersama bagi mereka, tapi mungkin proyek ini bahkan tidak bisa
mengambil bentuk yang sangat pasti sebelum kematiannya awal.
Dalam tulisan ini penulis berkonsentrasi
hanya pada satu topik ini: filosofi matematika; dan tujuan utama penulis adalah
untuk memberikan ringkasan singkat dan koheren ide-idenya tentang bidang ini.
Perlu dicatat, bagaimanapun, bahwa filsafat matematika dan ilmu pengetahuan
jelas memiliki beberapa karakteristik yang sama, karena mereka dibuat oleh
orang yang sama, dan tidak pada jarak temporal yang besar dalam kehidupan
akademik, ketika ia berada di bawah pengaruh intelektual sangat mirip. Oleh
karena itu tujuan sekunder penulis adalah untuk membangun ringkasan ini dengan
cara yang sesuai dengan teori filosofis umum ilmu, yaitu, untuk memberikan
ringan 'rekonstruksi rasional' dari gagasan.
·
Konteks Filsafat Matematika Lakotos
Dalam Ucapan Terima Kasih dari tesis
doktornya tentang filsafat matematika, Lakatos menyebutkan tiga penulis sebagai
sumber yang paling berpengaruh bagi filsafatnya. pilihan yang sangat menarik
ini menempatkan filsafat ke dalam konteks yang membantu kita memahami motif dan
tujuan-Nya. Sumber dia daftar adalah sebagai berikut:
1. Teori
falsificationist Popper. Pada akhir 1950-an dan awal 1960-an, ketika ia bekerja
terutama pada filosofi matematika, Lakatos berada di bawah pengaruh yang sangat
kuat dari Karl Popper. Popper menggunakan istilah 'Pemalsuan' untuk sanggahan
dari teori dengan fakta empiris, dan tesis utamanya adalah bahwa tidak ada
verifikasi empiris dari teori-teori ilmiah. Lakatos menerapkan penekanan pada
bantahan-bantahan pada disiplin yang diketahui secara eksklusif berbasis bukti,
dan menunjukkan bahwa ketika matematikawan melakukan matematika maka mereka sangat
sering menolak satu teori sama lain. Penekanan ini akan membawa kita dari
gambar ideal matematika (yang bekerja hanya dengan bukti) untuk aktivitas
matematika yang sebenarnya.
2. Heuristik
George Pólya. Lakatos diperkenalkan dengan ide-ide Pólya ketika ia masih di
Hungaria dan bekerja untuk Matematika Institution. Pólya menekankan peran
aturan heuristik dalam praktek yang sebenarnya matematika: perhatiannya adalah
matematika informal yang berkaitan dengan cara bagaimana matematikawan mencapai
hasil mereka . Lakatos memihak sudut pandang ini hampir tidak ada dalam
filsafat matematika, dan menggunakan ide ini di serangannya ke sekolah
formalis.
3. Dialektika
Hegel. Pengaruh Hegelian datang sangat awal untuk Lakatos, dalam tahun-tahun
universitas di Hungaria, ketika ia menjadi setia terlibat dalam filsafat Marxis
Lukacsian dan ideology. Namun, jejak dari ide-ide Hegelian bisa dilihat juga
dalam tulisan-tulisan filosofis terbarunya, dan itu sangat hadir dalam filsafat
matematika. Dalam pendidikan filosofisnya, Lakatos belajar bahwa penyelidikan
subjek tertentu tidak dapat dibatasi untuk studi di bingkai konseptual tetap
dari sistem yang kaku, tetapi harus beralih ke dialektika konseptual yang
membantu subjek mengembangkan dan menunjukkan dirinya. Dia belajar bahwa stres
adalah pada kemajuan, dan bukan pada negara statis; filosofi matematika harus
menjadi filosofi pembangunan, bukan kepastian statis - kurang pengetahuan dan
lebih dari perkembangan ilmu pengetahuan.
·
Tipe Dasar dari Ilmu Pengetahuan Deduktif
Untuk melihat di mana matematika terletak
di peta metodologis dari semua ilmu, Lakatos memberikan klasifikasi ('baik-kerja')
ilmu, yaitu sistem aksiomatik-deduktif. Melupakan tentang seluk-beluk
klasifikasi, penulis ingin membedakan antara dua tipe dasar, atau dua 'tiang',
sistem ini: ada sistem Euclidean, dan di sisi lain ada sistem kuasi-empiris.
(Lihat Gambar. 1) Apa yang dimiliki oleh kedua jenis-jenis sistem adalahcaksiomatik-deduktif
'roh'; yaitu, keduanya mengambil beberapa pernyataan sebagai dasar ( 'aksioma')
dan mencoba untuk mendapatkan dengan cara pernyataan deduksi logis lanjut (
'teorema') dari aksioma tersebut. Perbedaan utama terletak pada cara di mana
sistem ini terhubung ke 'kebenaran' dan 'kepalsuan' - mengapa kita tetapkan
untuk mereka peran epistemologis dan kredibilitas.
·
Kegagalan Epistemoligi Euclidean
Berikutnya
(dan, menurut Lakatos, mudah-mudahan yang terakhir) upaya membangun kerangka
Euclidean untuk matematika adalah Program formalis David Hilbert. Jika
kegagalan program logicist adalah karena inkonsistensi yang melekat, tugas
utama adalah untuk memastikan konsistensi untuk matematika. Oleh karena itu
filsuf formalis mengidentifikasi teori matematika dengan sistem formal murni
sintaksis (bate) yang harus memenuhi dua syarat utama: (i) kalkulus harus konsisten,
dan (ii) itu harus lengkap sehubungan dengan negasi, yaitu, satu keharusan bisa
baik membuktikan atau menyangkal setiap teorema terdiri di dalamnya (menemukan
benar atau salah dengan 'intuitif', kurang metode formal).
Alih-alih
membahas upaya dan kegagalan lebih lanjut dan kurang penting, Lakatos menarik
kesimpulan secara historis berdasarkan (yang tidak logis yang ketat, tetapi
ditunjukkan oleh pertimbangan sebelumnya) bahwa matematika bukanlah ilmu
Euclidean. Ini berarti, di satu sisi, bahwa matematika tidak sempurna: kami
tidak dapat menemukan mekanisme yang menjamin kebenaran yang diperlukan dari
aksioma. Ini juga berarti, di sisi lain, matematika tidak murni demonstratif:
aksioma tidak bisa membawa wewenang yang diperlukan yang akan membuat metode
pembuktian kredibel, kita sering mencari aksioma yang cocok untuk memastikan
keabsahan teorema tertentu kami ingin membuktikan. (Memodifikasi atau
meninggalkan laporan dasar sanggahan, kebalikan epistemologis bukti.) Akhirnya,
matematika tidak dapat murni formal, karena sistem formal tidak bisa hidup
sampai dengan harapan dasar kita ingin membesarkan mereka.
·
Pertautan Antara Filosofi dan Sejarah Matematika
Apa yang kita lihat pertama, memiliki
melihat sejarah matematika setelah analisis ini kegagalan sekolah formalis ini,
adalah bahwa teori matematika tidak diberikan kepada kita sebagai bate formal.
Sebaliknya, bate formal dibangun oleh matematikawan untuk ketat membuat konsep
teori informal. Selalu ada teori resmi sebelum sistem formal, dan sifat teori
jelas ini dibersihkan persis dengan memperbaiki kerangka formal. Selain itu,
proses formalisasi ini adalah sangat mekanisme penemuan matematika: pertumbuhan
pengetahuan matematika dicapai dengan membangun rekening resmi intuisi
informal. Mengenai epistemologi lagi, kebenaran teori matematika karena itu
dikurangi menjadi kebenaran informal teori ini, tapi pertanyaan kedua ini tidak
dijawab oleh Lakatos dalam satu cara tradisional yang unik.
·
Metode Pembuktian
Tulisan paling penting Lakatos tentang
filosofi matematika adalah Bukti dan Refutations, serangkaian artikel (kemudian
diterbitkan sebagai buku) bahwa ia telah mengekstrak dari (kedua) disertasi
doktor-Nya berjudul Essays on Logika
Discovery Matematika (Cambridge, 1961). Bagian utama dari pekerjaan ini
adalah studi kasus, sebuah 'rekonstruksi rasional' dari proses sejarah yang,
menurut penulis, adalah sangat cocok untuk menggambarkan pertumbuhan
pengetahuan matematika.
Langkah-langkah utama dari proses umum
pembuktian adalah sebagai berikut (lihat Gambar 2.):
1. Dugaan Naif.
penelitian matematika selalu dimulai dari masalah (dan perlu dicatat bahwa selalu berakhir di masalah juga).
Masalahnya adalah pengakuan intuitif beberapa keteraturan atau koneksi yang
tidak dapat diungkapkan dalam terdefinisi dengan baik, batas formal teori yang
ada. Oleh karena itu, ekspresi dugaan naif tidak berarti kemungkinan bukti:
kita membutuhkan teori formal di mana pernyataan itu dapat menjadi teorema
terbukti. (Sumber ‘Pengakuan' ini dapat beragam dan kontingen, dan mereka tidak
menarik bagi filosofi matematika -. Seperti yang kita amati ketika kita meniadakan
epistemologi)
2. Analisis Bukti.
Tujuannya sekarang adalah untuk membangun sebuah teori formal dimana dugaan
naif dapat dinyatakan secara tepat dan terbukti dengan cara deduksi. Pertama
kita memberikan bukti 'naif' untuk pernyataan kami, sebuah 'intuitif'
demonstrasi validitas umum. Dalam kasus kami demonstrasi ini adalah argumen
Cauchy: melihat polyhedrons sebagai lembaran karet, jika kita membayangkan
bahwa kita memotong mereka sepanjang salah satu tepi dan meregangkan mereka
datar, kita bisa 'melihat' bahwa pernyataan itu benar. Tapi komunitas
matematika akan menyalahgunakan longgarnya ini 'lembaran karet' gagasan
polyhedrons, dan mereka akan dengan mudah datang dengan tandingan: kasus yang
dugaan tersebut tidak memiliki. Semua kritik dan kontra-kritik menjadi penting
sekarang, mereka adalah mesin dari evolusi theories.
Counter-example
dapat dibagi menjadi dua kelompok utama: kontra lokal dan global examples, yang
lokal adalah mereka yang tidak menyangkal Teorema kami 'pada umumnya, mereka
hanya membantah salah satu lemma tersembunyi' secara tidak sadar mereka
termasuk di dalam formulasi teorema kami. Dalam hal ini kita mengganti ' lemma-contra'
dengan satu sama lain yang sekarang tidak termasuk keabsahan Counter-example. Global yang Counter-example, di sisi lain, adalah
orang-orang yang membantah teorema awal kami. Namun, kita tidak membuang
teorema dan bukti, tetapi kami memodifikasi konsep dan gagasan yang terlibat,
atau membuatnya lebih tepat apa pernyataan tentang (mis apa polyhedrons yang).
Dengan cara ini, melalui interaksi
dialektis bukti, bantahan-bantahan dan bukti analisis, sistem formal konsep
yang tepat secara bertahap dibuat, dan ini akan membentuk teori matematika
formal baru.
3. Teori deduktif.
Akhirnya, 'program penelitian' berakhir di teori formal baru. Semua makna
istilah yang tetap dalam sistem aksiomatik, dan banyak teorema (mungkin
termasuk yang asli) dapat disimpulkan. (Dalam studi kasus kami, teori baru
adalah sistem aksiomatik algebraic topology -. Lihat Bukti dan Refutations)
Dalam tahap terakhir ini, aktivitas matematika direduksi menjadi 'penyelesaian
teka-teki' (dimana pada teorema dapat dibuktikan lewat teori), dan tidak ada
masalah menarik akan muncul. Untuk filosofi formailst matematika, ini adalah
satu-satunya yang menarik, bentuk nyata kegiatan matematika - untuk Lakatos,
ini adalah salah satu yang paling membosankan dan paling menarik.
Perlu dicatat bahwa, menurut Lakatos,
skema yang sama pembangunan dapat ditunjukkan dalam kasus matematika Yunani
kuno juga, bagi evolusi geometri dari Thales ke Euclid. Dan, bahkan lebih
menarik, Lakatos berpendapat untuk validitas dari skema ini untuk kelahiran
fisika modern: dari 'dugaan naif' Kepler (yang tidak dapat dibuktikan dalam
teori fisik yang ada pada saat itu pengakuan mereka) untuk yayasan aksiomatik
Newton mekanika. Ada beberapa tanda-tanda, seperti yang telah disebutkan dalam
Pendahuluan, yang, dalam beberapa tahun terakhir hidupnya, Lakatos tidak
melihat matematika dan ilmu pengetahuan alam yang berbeda, baik dalam
metodologi maupun dalam subjek - tapi, penulisannya, untuk formulasi eksplisit
ini dia tidak cukup waktu yang tersisa sebelum kematiannya.
C. KEJELASAN
ISI
Kutrovátz telah menyajikan makalah ini
dengan sangat baik. Teori-teori diberikan beserta literaturnya secara lengkap
sehingga pembaca tidak perlu mencari informasi dari sumber lain untuk memahami
makalah ini. Penulis menjelaskan dengan baik bagaimana dasar-dasar filosofi
matematika Lakatos berkembang. Apa yag dituliskan telah sesuai dengan tujuan
penulisan dimana pembaca diharapkan untuk memahami bagaimana filosofi Lakotos
berkembang. Tata bahasa dan cara penyampaian yang baik membuat pembaca setelah
membaca artikel ini dapat mengenal pikiran filosofis Imre Lakotos.
D. KESIMPULAN
Tampaknya sangat mungkin bahwa
orisinalitas dan wawasan yang mendalam dalam filsafat Lakatos adalah sebagian
karena pelatihan sangat beragam dan bervariasi: dari filsafat Hegelian-Lukacsian
untuk cara analitis resmi Cambridge argumentasi, ia menerima pengaruh yang
sangat berbeda selama hidup akademisnya. Ini secara resmi bertentangan views
melahirkan sangat hidup dan ide-ide yang efisien dalam filsafat, meskipun ia
tidak pernah mengambil kesempatan untuk mengklarifikasi final, sistem filsafat
yang lengkap - sesuatu yang ia mengesampingkan sebagai tidak menarik dalam
kasus teori matematika. Hal ini agak pendekatan dari laporan aktual yang harus
dihargai tertinggi di antara semua yang kita warisi dari ide-idenya: penekanan
pada dimensi sejarah; pengabdian untuk perkembangan dan kemajuan; dan upaya
untuk melihat matematika bukan sebagai hal formal yang asing bagi kita tapi
seperti yang dikerjakan oleh ahli matematika. Dia membawa turun matematika dari
kesempurnaan ilahi yang seharusnya diberikan ke dunia manusia yang bertanggung
jawab untuk pencapaian gelar yang lebih tinggi dari kesempurnaan-yang adalah,
karena tampaknya menjadi, sebuah revolusi Copernican dalam filsafat matematika.
Jurnalnya dapat dilihat disini.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar