PAPER REVIEW: What Anti-Realsm in Philosophy of Mathematics Must Offer? (Feng Ye)

PHILOSOPHY OF MATHEMATICS

PAPER REVIEW

BY

AMANDA LA HADI

G2 I1 15 007

PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS HALU OLEO

KENDARI

2016

REVIEW JURNAL

JUDUL          : What Anti-Realsm in Philosophy of Mathematics Must Offer?

PENULIS      : Feng Ye

I.         ISI/KONTEN

1.        Pendahuluan

Pendahuluan menjelaskan tentang awal mula munculnya perdebatan antara penganut realisme dan anti-realisme dalam matematika beserta para pendukungnya. Kedua penganut ini bertentangan dalam hal menjawab entitas objek-objek dalam matematika.

Kaum anti-realis mempertahankan teori bahwa kita harus mempercayai keberadaan seluruh entitas matematika dan seluruh aksioma serta teorema matematika adalah benar. Bertentangan dengan hal itu, kaum realis mengklaim bahwa banyak objek-objek abstrak dalam matematika yang tidak dapat dijelaskan entitasnya sehingga para ilmuan seharusnya hanya memandang matematika dari segi kebenaran konkrit saja. Secara khusus kaum realis mengambil permasalahan unik yang hingga saat ini belum dapat dijelaskan entitasnya oleh kaum anti-realis yaitu tentang “ketakhinggaan” yang menjurus pada ruang Riemann.

Alasan penulis mempublikasikan artikel ini adalah untuk mencoba mengeksplorasi tantangan-tantangan terkuat bagi kaum anti-realis dengan cara menginterpretasi intuisi yang mendukung kaum realis. Tantangan yang diberikan ini bukan dengan tujuan untuk melemahkan teori-teori kaum anti-realis, tapi justru sebaliknya. Jika anti-realis dapat menjawab tantangan-tantangan ini maka akan semakin memperkuat fondasi mereka dalam aliran filsafat matematika. Selama ini yang penulis liat adalah kurang kuatnya alasan yang diberikan oleh para anti-realis ketika menjawab tentang entitas objek abstrak dalam matematika seperti selalu mengatasnamakan “kecukupan empiris” (Hoffman, 2004) atau “kecukupan nominalistik” tanpa adanya alasan yang benar-benar “nyata”.

2.        Tantangan Untuk Anti-Realisme

·           Tantangan pertama

Anti-realisme harus menjelaskan apa yang benar-benar ada dalam matematika (jika bukan entitas matematika), dan harus menunjukkan bagaimana hal-hal nyata ini dapat menceritakan makna-makna dari pernyataan matematika dan pengetahuan, intuisi, dan pengalaman ilmuan matematika.

Pernyataan matematis tentu saja sangat berarti bagi para ilmuan matematika dan mereka tentunya memiliki pengetahuan, intuisi, dan pengalaman yang cukup untuk mendukung pernyataan (definisi, aksioma, teorema, dll) yang mereka keluarkan.

Pada tantangan ini, para ilmuan kaum anti-realis diminta untuk dapat memverifikasi kebenaran dari setiap pernyataan yang mereka keluarkan. Verifikasi disini berarti menunjukan bukti nyata tentang entitas matematika dari pernyataan tersebut. Contohnya, ilmuan kaum realis belum dapat menjelaskan pengetahuan nyata mereka tentang “ruang Riemann yang kira-kira ismorfis dengan ruang-waktu pada kenyataan”. Sehingga menjadi tugas para verifikator untuk (setidaknya) menegaskan bahwa verifikasi dapat menjelaskan makna, pengetahuan, dan intuisi dalam praktek matematis.

Tantangan ini juga untuk menjawab hasil verifikasi dari Dumment (1973) yang menyatakan bahwa kesuksesan penggunaan bahasa matematika klasik oleh para ilmuwan adalah tidak sah, itu hanya sekedar “penggunaan intuisi” yang hampir tidak pernah dipraktekan oleh para ilmuan. Paham ini disebut fiksionalisme, dimana mereka juga mengklaim bahwa eksistensi pernyaaan-pernyaatn matematis “secara harfiah adalah palsu” sebab entitas matematis tidaklah  ada.

Intinya adalah kaum anti-realis harus menjawab pertanyaan: Apakah praktek matematika kami yang terbaru dan pemahaman ilmuan yang mengerjakannya menyiratkan realisme? dengan tantangan untuk menghadirkan pemahaman, pengetahuan, dan intuisi yang menyiratkan eksistensi harfiah dari entitas matematis seperti pada ruang Riemann.

·           Tantangan kedua

Anti-realisme harus menceritakan keaslian hubungan-hubungan antara beberapa (yang diduga keras) entitas matematis (atau struktur) dan beberapa bentuk fisik.

Ilmuan memilih ruang Riemann untuk memodelkan struktur ruang dan waktu dengan alasan yang baik. Meskipun ruang Riemann tidak nyata secara harfiah, tetap saja ini adalah tentang fakta bahwa dalam beberapa hal tertentu, ruang Riemann dan struktur ruang-waktu pada dunia nyata identik secara struktural.

Kaum anti-realis memiliki pendekatan yang dapat digunakan untuk beberapa konsep umum yang berlaku dalam matematika, seperti kecukupan nominalistik untuk menjelaskan manfaat dari matematika. Tapi ini sama sekali tidak dapat menjelaskan hubungan konkrit antara matematika dan dunia nyata.

Untuk menjawab tantangan ini misalnya dengan menjelaskan tentang ruang Riemann. Jika ruang Riemann pernah ada dan secara harfiah isomorfis dengan dengan ruang-waktu fisik, harus ada sebuah penjelasan berdasarkan kecukupan nominalistik atau empiris.

·           Tantangan ketiga

Anti-realisme harus mengidentifikasi dan memperhitungkan berbagai macam aspek dari objektifitas dalam praktik dan aplikasi matematika.

Sebuah upaya alami untuk menjelaskan objektifitas berdasarkan perspektif anti-realis adalah dengan mengklaim kebenaran bahwa mengikuti aturan pembuktian menggunakan logika matematika adalah suatu hal yang objektif. Selain itu, aspek objektivitas lain dari matematika adalah berkaitan dengan hubungan antara matematika dengan dunia fisik.

Sekali lagi dengan mengambil contoh ruang Riemann, pada tantangan ini kaum anti-realis diminta untuk mengklarifikasi objektifitas dari entitas matematika, salah satunya untuk menduga kebenaran matematika tentang ketakhinggan dan hal-hal abstrak sebelum pada akhirnya para pengamat menolak objektifitas yang mereka ajukan.

·           Tantangan keempat

Anti-realisme harus menjelaskan kenyataan, universalitas, prioritas dan kebutuhan akan aritmatika sederhana dan himpunan teorema teoritis, dan mereka juga harus memberikan sebuah pertanggungjawaban yang konsisten dari logika.

Apakah “5+7 = 12” adalah benar? Kita semua meyakini kebenaran akan pernyataan ini. Ini tidak akan membantu untuk mengatakan bahwa “5+7 = 12” adalah “salah secara harfiah”, sebagai sesuatu yang tampaknya dikatakan oleh kaum anti-realis. Harus terdapat kebenaran dalam hal ini meskipun angka tidak “secara harfiah ada” dan meskipun “5+7 = 12” adalah “salah secara harfiah”.

Tantangan ini mengharuskan anti-realis untuk menjelaskan konten dari “5+7 = 12” dan kenapa pernyataan ini secara nyata benar dalam arti yang tepat.

·           Tantangan kelima

Anti-realisme harus dapat menjelaskan matematika berdasarkan asumsi bahwa banyak terdapat objek-objek konkrit yang hanya memiliki jumlah terbatas, tetapi juga harus memperhitungkan intuisi nyata yang valid “tentang ketakhinggan”.

Filsuf yang mendukung anti-realisme mungkin masih memiliki pendapat yang berbeda tentang ketakhinggaan. Field (1998) mengacu ke “asumsi kosmologis” dalam ketakhinggaan alam semesta untuk mempertahankan bahwa pernyataan aritmatika yang menyiratkan ketakhinggan memiliki nilai kebenaran objektif. Namun hingga saat ini fisikawan belum mampu membuktikan bahwa alam semesta tak terbatas. Satu hal yang sangat penting bahwa pada hampir seluruh area sains sejauh ini, penggunaan matematika terbebas dari hubungan ruang-waktu apakah terbatas atau tidak terbatas (apakah diskrit atau kontinu).

Tantangan ini adalah untuk menjelaskan pernyataan: jika kaum anti-realis menerima objektifitas dari ketakhinggaan, tetapi mengklaim bahwa hal itu tidak berarti bahwa alam semesta fisik adalah tak terbatas, maka dimanakah ketekhinggan itu berada dalam alam semesta yang terbatas dan diskrit ini?

·           Tantangan keenam

Anti-Realisme harus menjelaskan kemampuan matematika untuk diterapkan, dan untuk tujuan ini, salah seorang harus menunjukan bahwa referensi nyata dalam ketakhinggan dan entitas abstrak matematika dalam penerapan matematis pada prinsipnya diabaikan.

Melia (2000) mengklaim bahwa matematika membawa kita pada teori yang lebih sederhana tetapi tidak ke dunia yang lebih sederhana. Ia berpendapat “kesederhanaan” tidak menggambarkan matematika.

Disini kaum anti-realis diminta untuk menjelaskan kesenjangan yang terjadi antara dunia matematika yang tidak terbatas dengan dunia nyata yang terbatas.

Untuk mempermudah penjelasan ini, penulis memberikan contoh tentang komputer. Komputer digunakan untuk membangun model dan mensimulasikannya meskipun model tersebut tidak benar-benar ada. Sementara komputer adalah hal yang nyata. Kegagalan komputer untuk membangun sebuah model tidak lantas menyebabkan kita dapat mengklaim bahwa komuter tidak nyata dan program serta aplikasi pada komputer adalah hal yang salah secara harfiah. Hal ini sama halnya ketika kita melihat kegagalan dalam pemodelan matematis yang tidak serta merta menunjukkan bahwa model tersebut tidak nyata.

Kaum anti-realis belum benar-benar menjelaskan bagaimana matematika diterapkan, atau bagaimana model matematik bekerja. Mereka belum memberikan penjelasan yang secara harfiah benar bagaimana "model fiktif" dapat diterapkan untuk memperoleh kebenaran literal tentang hal-hal yang nyata. Karena hal-hal fiksi tidak ada (benar secara harfiah), maka kita tidak harus tidak mengacu pada "model fiktif" lagi. Artinya, anti-realis harus menunjukkan bahwa pada prinsipnya mereka diabaikan.

3.        Sebuah Laporan Ilmiah Untuk Praktek Matematika

Bagian ini menjelaskan tentang kesimpulan yang dapat penulis ambil dari gambaran keadaan kaum anti-realis, dimana mereka belum dapat secara nyata membuktikan tantangan-tantangan yang penulis berikan. Apa yang benar-benar ada dan apa yang sebenarnya terjadi dalam praktek matematika? Sejak muncul dugaan bahwa "ruang Riemann" tidak benar-benar ada, jika seseorang bertanya, "Apa yang matematikawan lakukan ketika dia berbicara 'tentang ruang Riemann'?", Satu-satunya jawaban sederhana tampaknya adalah, "Dia membayangkan sesuatu". Oleh karena itu, apa yang perlukan adalah penjelasan yang sangat realistis dan benar-benar jujur dari para anti-realis tentang apa itu “membayangkan sesuatu”.

Penulis menekankan "langsung" di sini, karena ini diklaimnya sebagai representasi mental yang secara tidak langsung berhubungan dengan hal-hal eksternal yang nyata. Dengan kata lain, imajinasi kita tidak benar-benar menciptakan "entitas imajiner." Hanya tangan kita yang dapat menciptakan hal-hal dari bahan yang sudah ada. Ketika kita membayangkan sesuatu, pikiran kita membuat representasi mental yang berada di otak kita.

II.      KEJELASAN ISI

Pada artikel ini, penulis telah menjelaskan dengan gamblang bagaimana kondisi kaum anti-realis dalam aliran filsafat matematika. Hal-hal apa yang mereka abaikan dan belum dapat diperjelas hingga saat ini digambarkan lewat tantangan-tantangan yang diajukan. Penulis telah mengambil literatur yang sangat jelas, baik dari para filsuf realis maupun anti realis untuk mendukung kuatnya argumen yang ia berikan pada masing-masing tantangan.

Bahasa yang digunakan dalam artikel ini mudah dimengerti hingga orang awam yang membacanyapun dapat memahami isi artikel (mungkin) dengan baik.

III.   KESIMPULAN

Matematika adalah bahasa ilmu pengetahuan yang menjelaskan objek-objek di Alam Semesta baik yang konkrit maupun abstark dalam berbagai pola dan simbol. Entitas matematika adalah wujud objek yang disimbolkan dalam matematika. Aliran filsafat realisme dan anti-realisme adalah gambaran umum filsafat dalam matematika. Ilmuan matematika terbagi kedalam kedua paham itu. Para realis selalu meminta bukti konkrit untuk setiap entitas dalam matematika, sementara anti-realis menganggap itu tidak perlu khususnya untuk entitas abstrak seperti ketakhinggan. Hal ini membuat anti-realis tidak memiliki penjelasan yang kuat ketika diminta alasan logis yang menghubungkan matematika dengan dunia nyata. Lewat artikel ini (Feng Ye) mengharapkan kaum anti-realis dapat meembangun dasar yang lebih kuat dalam paham filosofis mereka dengan menjawab tantangan-tantangan yang ia berikan.

Artikel ini sangat bermanfaat bagi pembaca khususnya orang-orang yang ingin memahami lebih lanjut tentang objek matematika. Karna hanya terdiri dari objek abstrak dan konkrit, untuk memahami matematika, kita harus memahami terlebih dahulu dasar filosofis yang membedakan kedua objek ini. Bagaimana para ilmuan matematika membuktikan keberadaan dari entitas objek-objek ini? Apakah semuanya dapat kita lihat secara nyata atau hanya dapat dipikirkan dalam alam pikiran kita? Jawabannya telah digambarkan secara umum dalam artikel yang singkat ini. 

Jurnalnya dapat diakses disini.

Review Jurnal "Redrawing Kant’s philosophy of mathematics"

1.        JUDUL

Redrawing Kant’s philosophy of mathematics

Penulis: Joshua M. Hall (2013)

2.        ISI/KONTEN

A.      Pendahuluan

Dalam esai ini, penulis menawarkan reinterpretasi strategis filsafat matematika Kant di Critique of Pure Reason, selain itu juga diberikan rekonsepsi berdasarkan kajian  empiris dari konsepsi cara “menggambar” Kant.

Penulis akan mulai dengan membuat sketsa gambaran umum dari filsafat matematika Kant, mengamati bagaimana ia membedakan matematika dengan kritikan dalam dinamis dan filosofi, dalam (yang dulunya) sebuah kasus dalam matematika ‘pembatasan dan peraturan dari dunia penampilan spatiotemporal’, dan dalam kasus yang terakhir dengan metode yang sintetis konstruksi apriori. Kedua, Penulis akan memeriksa bagaimana gelombang terbaru dari analisis kritis konstruktivisme Kant mengambil isu-isu ini, sebagian besar terinspirasi oleh konsep ortodoks Jaako Hintikka, intuisi Kantian. Ketiga, Penulis akan menawarkan analisis lebih lanjut dari tiga konsep vital Kantian erkait dengan gambar, yaitu 'berjenis', 'skema' dan 'imajinasi', akhirnya mencirikan manifold sebagai semacam pluralitas homogen mathematised oleh imajinasi melalui skema tersebut. Keempat, Penulis akan menyimpulkan dengan eksplorasi etimologis berdasarkan dari tujuh kelompok makna dari kata abstraksi gambar, menarik, ekstraksi, mengulur, konstruksi, gerak-tubuh dan berbagai keterangan konstruksi (yaitu menyusun, menggambar pada, dll) isyarat -untuk menuju kemungkinan baru untuk menafsirkan matematika kritis Kant.

Dalam memberikan gambaran tentang peran matematika dan matematika, Penulis akan mulai dengan matematika dalam kaitannya dengan fisika dan dinamis. Kant pertama kali menyebutkan matematika di Kritik pertama dalam kata pengantar untuk edisi-A, di mana ia menyatakan bahwa matematika dan fisika adalah dua contoh dari ilmu 'yang diletakkan dengan alasan baik  (A p. Xi, n). Angka dua ini dengan cepat menjadi dikotomi yang diulang pada tiga momen penting dalam Kritik tersebut. Saat pertama adalah dalam Tabel Kategori. Pertama dua kelompok kategori Kant menggambarkan sebagai 'matematika', sedangkan yang kedua dua kelompok yang ia sebut 'dinamis' (yaitu yang berkaitan dengan fisika sebagai ilmu gerak) (B p. 110). Selanjutnya penulis kembali ke perbedaan ini menjelang akhir penyelidikan, ketika ia mempertimbangkan secara lebih rinci hubungan antara matematika dan imajinasi.

Contoh kedua matematika/fisika ini dikotomi dalam tabel prinsip-prinsip pemahaman. Dua prinsip pertama lagi digambarkan sebagai 'matematika' (yang berbeda dengan dua yang terakhir 'dinamis'), meskipun hanya, menurut Kant, karena mereka membenarkan 'menerapkan matematika untuk penampilan' (A p. 178, B p. 221 ). Dengan kata lain, prinsip-prinsip matematika menjelaskan bagaimana realitas sehingga analisis matematika secara obyektif berlaku untuk itu, yang karena prinsip-prinsip matematika 'bisa dihasilkan sesuai dengan aturan dari sintesis ical mathemat-', dan karena mereka adalah 'konstitutif' dari mungkin pengalaman (A p. 179, B p. 222). Seiring dengan prinsip-prinsip dinamis, prinsip-prinsip matematika berisi 'apa-apa tetapi hanya skema murni, karena itu, kemungkinan adalah sebuah pengalaman' (A p. 237, B p. 296).

B.       Pembahasan

Matematika menikmati peran yang sangat istimewa dalam prinsip pertama dari pemahaman, yang disebut Kant sebagai 'Aksioma dari Intuition'. Prinsip ini (sebagaimana tercantum dalam Edisi-A) adalah bahwa 'Semua penampilan yang, dalam hal intuisi mereka, magnitudes.'2 luas (A p. 162). Dalam Edisi-B itu disajikan kembali sebagai 'Semua intuisi adalah besaran luas' (B hal. 202). Keduanya berarti untuk Kant bahwa 'Representasi dari bagian memungkinkan representasi dari keseluruhan (dan oleh karena itu harus mendahului yang terakhir' (A p. 162, B ​​p. 203). (Ini berdiri dalam oposisi yang tepat untuk pemahaman ruang Kant, di mana konsep seluruh selalu sebelum setiap bagian.)

Kant kemudian menawarkan contoh berikut, signifikan karena mengandung penggunaan pertama dari kata ziehen (Jerman), 'menggambar', dalam arti konstruksi. Jika Penulis mengatakan: "Dengan tiga baris, dua di antaranya diambil bersama-sama lebih besar dari ketiga, segitiga dapat ditarik," maka yang kita miliki di sini adalah fungsi sekadar imajinasi produktif, yang menarik garis besar atau lebih kecil, sehingga memungkinkan mereka untuk berbatasan di setiap sudut. (A penekanan p. 164, B p. 205, tambah)

Dalam terjemahan Norman Kemp Smith, kata 'ditarik' di atas adalah bukan diberikan oleh 'Dijelaskan', yang tentu saja mengacu menggambar lingkaran, dan yang demikian sama dengan gambar garis lurus sebagai kegiatan teladan kedua pembangunan matematika. Perbedaan utama antara keduanya adalah bahwa menggambarkan lingkaran, setidaknya untuk keperluan teknis, memerlukan penggunaan perangkat empiris, yaitu, busur derajat.

Mengingat bahwa (1) matematika berbasis intuisi, (2) intuisi manusia adalah masuk akal, dan (3) kepekaan hanyalah bentuk penerimaan manusia, maka definisi ini akan menunjukkan bahwa seluruh 'dunia', karena itu adalah 'matematika' , terbatas pada dunia diri konstitutif penampilan. Kant setelah membuat klaim yang menarik bahwa 'tempat dalam matematika melakukan pernyataan palsu menyamarkan diri mereka dan membuat diri mereka terlihat; untuk bukti matematika selalu harus melanjutkan sepanjang garis intuisi murni, dan memang selalu melalui sintesis yang jelas.

Ini berarti bahwa dasar yang masuk akal dalam matematika mungkin lebih tepat digambarkan sebagai proses yang masuk akal, sintesis terlihat sebagai lawan bukan sebuah inert, dan dengan demikian berpotensi menipu, produk. Dengan kata lain, proses terlihat seperti sintesis matematika, menarik perhatian dirinya dalam disclosive, cara memastikan kebenaran. Dalam contoh terakhir dari dikotomi, mengulangi struktur diterapkan pada kategori dan prinsip-prinsip, Kant menjelaskan dua antinomies pertama sebagai 'matematika' dan yang kedua dua sebagai 'dinamis'. Menjelang akhir bagian pada antinomies, Kant mengeluarkan dikotomi ini panjang lebar, menekankan bahwa penawaran matematika dengan 'homogeneous'-yaitu unsur sensible- sedangkan penawaran dinamis dengan' heterogeneous'-yang tidak sensible. Kemudian, di Ideal of Pure Reason, Kant menawarkan pengamatan pelengkap bahwa antinomies matematika, sebagai lawan yang dinamis.

Selanjtnya Penulis mendiskusikam Kant pada perbedaan antara matematika dan filsafat. Lisa Shabel berpendapat bahwa fakta sejarah yang paling signifikan untuk membaca pendapat Kant terhadap matematika adalah 'filsafat rasionalis matematika' dari, khususnya, 'Leibniz, Wolff, dan Mendelssohn' (Shabel 2006:. P 98). Shabel mengidentifikasi 'prinsip utama' dari posisi ini sebagai berikut:

'Kebenaran matematika dan kebenaran metafisik sama-sama tertentu karena metode umum mereka penalaran, yaitu, analisis konseptual' (Shabel 2006:. P 96).

Untuk Kant, di sisi lain, kepastian matematika membutuhkan langkah luar analisis konseptual untuk apa yang ia sebut konstruksi konseptual, tindakan 'diharuskan oleh karakter sintetis proposisi matematika' (yang bertentangan dengan karakter analitik proposisi filosofis yang membatasi ke konseptual analisa).

Sekarang Penulis melanjutkan lebih mendalam ke diskusi apa yang muncul dari oposisi untuk kedua fisika dan filsafat sebagai karakteristik yang paling membedakan matematika untuk Kant. Alasan pertama untuk kekaguman Kant adalah apa yang ia anggap bahwa matematika memiliki kesulitan signifikan lebih besar untuk menjadi ilmu pasti: 'Namun tidak harus berpikir bahwa itu adalah mudah bagi [matematika] sebagai logika”. Matematika tidak dimulai dengan memikirkan konsep matematika. Juga tidak dimulai dengan pengamatan yang cermat, pemeriksaan visual dari representasi atau simbol dari konsep matematika. Sebaliknya, dalam tindakan membangun, secara harfiah menggambar objek matematika, dalam hal ini segitiga, segitiga yang diresapi dengan conceptuality matematika bahwa ilmu ukur sendiri dimasukkan ke dalamnya.

Melanjutkan ke Pengantar Edisi-B, orang menemukan pernyataan terkenal Kant bahwa 'Penilaian Matematika semua sintetis' (B hal. 14). Kant secara khusus menyebutkan keseluruhan aritmatika, serta semua 'beberapa prinsip' geometri, yang 'sebenarnya analitik' (B hal. 16). Kita bertanya-tanya apa yang Kant mengartikan ini sebagai matematika murni, bahkan jika prinsip-prinsip geometri 'mendasar' tertentu tidak memenuhi syarat untuk label. Tepat di bawah ini, satu menemukan pernyataan terkenal kedua Kant tentang hal ini: 'benar proposisi matematika adalah selalu penilaian apriori dan tidak pernah empiris, karena mereka membawa kebutuhan dengan mereka, yang tidak dapat diturunkan dari pengalaman (B p 14.). Namun, Kant kemudian mengakui kemungkinan bahwa apriori ekonomi ini hanya berlaku untuk 'matematika murni, konsep yang sudah menyiratkan bahwa itu tidak mengandung empiris tetapi hanya murni sebuah kognisi apriori'

Apriori adalah bahwa yang kita berkontribusi untuk mengalami dan, jika matematika adalah apriori, maka juga adalah sesuatu yang kita berkontribusi untuk pengalaman, bukan sesuatu yang siap pakai. Dalam Transendental Aesthetic, Kant mengkritik pemikir empiris yang memegang persis ini semacam pandangan 'matematika readymade', bahwa matematika terdiri hanya dari generalisasi imajinatif dari pengalaman.

Akhirnya, menjelang akhir dari Transendental Analytic, Kant parafrase kesimpulan mengenai Konstruksi gedung matematika, mencatat bahwa di dalamnya, 'konsep besarnya berusaha berdiri dan akal dalam jumlah, tetapi berusaha ini pada gilirannya di jari, di manik-manik dari sempoa, atau stroke dan poin yang ditempatkan sebelum mata.

3.        KEJELASAN ISI

Penulis menuliskan artikel ini dengan jelas, baik dari segi kronologis maupun catatan sejarah. Penulis menjelaskan dengan baik bagaimana dasar-dasar filosofi matematika Kant berkembang, pernyataan-pernyataan apa yang ia sampaikan dalam setiap bukunya, serta bagaimana filosofinya didukung oleh para filsuf lainnya. Apa yag dituliskan telah sesuai dengan tujuan penulisan dimana pembaca diharapkan untuk memahami bagaimana filosofi Kant berkembang. Tata bahasa dan cara penyampaian yang baik membuat pembaca setelah membaca artikel ini dapat mengenal pikiran filosofis Imanuel Kant.

4.        KESIMPULAN

Esai ini menawarkan reinterpretasi strategis filsafat matematika Kant di Critique of Pure Reason secara luas, konsepsi ulang berdasarkan kenyataan empiris dari konsepsi gambar Kant. Dimana pembahasan dimulai dengan gambaran umum dari filsafat matematika Kant, mengamati bagaimana ia membedakan matematika di Kritik dari kedua dinamis dan filosofis. Kedua, mengkaji bagaimana gelombang terbaru dari analisis kritis konstruktivisme Kant mengambil isu-isu yang beredar. Ketiga, ia menawarkan analisis lebih lanjut dari tiga konsep vital Kantian terkait dengan “menggambar”. Ini disimpulkan berdasarkan eksplorasi etimologis dari tujuh kelompok makna dari kata “gambar” untuk menunjuk ke arah kemungkinan baru untuk menafsirkan filosofi matematika Kantian.

Jurnalnya dapat dilihat disini. 

Review Jurnal "Husserl’s Philosophy Of Mathematics: Its Origin And Relevance"

1.        JUDUL

Husserl’s Philosophy Of Mathematics: Its Origin And Relevance

Penulis: Rosado Haddock (2006)

2.        ISI/KONTEN

A.      Pendahuluan

Secara umum artikel ini membahas tentang pandangan filosofis Husserl yang tertuang dalam bukunya Logische Untersuchungen.

Pada bagaian ini penulis menjelaskan tentang  landasan dari teori filsafat matematika milik Husserl. Pendapat filosofis Husserl dipengaruhi oleh filsafat yang dikemukakan oleh Leibniz, Bolzano, dan Lotze, para pendahulunya. Selain itu pendapat Husserl juga terkait dengan filsuf se-zamannya Frege dan Hilbert. Setelah tahun 1890, filsafat Husserl sangat dipengaruhi oleh koleganya George Cantor dan Bernhard Riemann.

B.       Latar Belakang

Pada latar belakang ini penulis menjelaskan tentang pembahasan awal dari buku Husserl. Pada awal hal.62 (dalam bukunya) Husserl mengingatkan pembaca tentang tiga indera dalam memaknai kesatuan ilmu yaitu kesatuan antroplogis dan psikologis psikologis dari tindakan pemikiran, kesatuan domain ilmu, dan kesatuan kebenaran.

Husserl menekankan bahwa “pengetahuan ilmiah merupakan(selalu) pengetahuan dari dasar”, kemudian ia melanjutkan bahwa untuk mengetahui dasar dari sesuatu dibutuhkan validitas dalam kebajikan dalil-dalil. Oleh karena itu, menurut Husserl ekspresi-ekspresi berikut adalah ekuivalen: (i) untuk memahami bahwa sebuah pernyataan diatur oleh dalil-dalil; (ii) untuk memahami bahwa kebenaran butuh untuk divalidasi; (iii) untuk memperoleh pengetahuan tentang dasar suatu pernyataan; dan (iv) untuk memperoleh pengetahuan dasar dari suatu kebenaran.

Selanjutnya Husserl membagi kebanaran menjadi dua yaitu kebenaran individu dan kebenaran umum. Kebenaran individu mengandung eksistensi nyata dari pernyataan singularitas individu sedengkan kebenaran umum terbebas dari seingularitas tersebut dimana memungkinkan untuk menggambungkan pernyataan dari beberapa individu.

Pada bagian ini banyak dijelaskan bagaimana pendapat-pendapat kolega dan pendahulunya mempengaruhi aliran filsafat Husserl. Husserl tertarik dalam menentukan konsep primitif di mana konsep teori pada umumnya didirikan. Selain itu, ia ingin menemukan dalil murni, berdasarkan konsep primitif seperti itu, yang memberi kesatuan untuk setiap teori, yaitu, dalil milik teori apapun yang seperti itu, dan yang menentukan kemungkinan variasi atau jenis teori. Dengan demikian, Husserl menunjukkan untuk secara logis membenarkan teori yang diberikan kita harus merujuk kepada konsep-konsep dan dalil yang idealnya merupakan teori untuk apapun, dan yang deduktif dan apriori mengatur setiap spesialisasi gagasan teori dalam jenis-jenis yang mungkin.

C.       Makna Kategori dan Aturan Pembentukan

Pembahasan ini menjabarkan tugas-tugas teori dari segala teori miliki Husserl yang terutama untuk mengklasifikasi konsep primitif yang dapat menjadi penghubung antar teori. Ia menekankan lebih lanjut pada bukunya Einleitung di die Logik und Erkenntnistheorie yang menyatakan bahwa seluruh konsep teoritis ilmu pengetahuan bergerak dari konsep umum ke konsep yang lebih khusus. Selain itu, Husserl juga mengembangkan gagasan tentang tata bahasa logis murni. Sehingga pada tingkatan ini teori Husserl dapat dikatakan sebagai teori tingkat Logika-Gramatikal.

D.      Logika, Matematika, dan Universal Mathesis

Konseps logika Husserl, tidak peduli seberapa formal dan tanpa konten apapun, bukanlah apa yang disebut dengan logika gratis, tetapi cenderung bertepatan dalam pengertian dengan logika matematika klaisk.

E.       Teori dar Segala Teori 

Pada bagian ini disampaikan secara singkat bahwa dalam Formale und transzendentale Logik dan tempat lain terkait dengan teori semua teori Husserl sangat berhubungan erat dengan matematika Hilbert. Secara khusus, Husserl membahasnya sejauh untuk mengklaim semacam kelengkapan dari teori semua teori, yang tampaknya menyamakan deduktif (atau sintaksis) kelengkapan dengan kelengkapan itu sendiri. Versi revisi dari kuliah Husserl tentang kelengkapan baru-baru ini telah diterbitkan oleh Elisabeth Schuhmann dan almarhum Karl Schuhmann.

F.        Teori Husserl Tentang Manifold

Pada bagian ini penulis menjelaskan tentang pernyataan Husserl bahwa teori matematika tentang manifold hingga saat ini -yang berasal dari Riemann, Helmoltz, Klein, Lie dan lain-lain- adalah realisasi parsial korelatif ideal dari teori deduktif, meskipun matematikawan belum jelas memahami sifat disiplin baru ini dan belum naik ke abstraksi tertinggi yang dapat merangkul semua teori. Husserl menggaris bawahi bahwa teori yang sebenarnya merupakan singularisasi dari bentuk yang sesuai dengan teori tersebut, dan setiap aspek teoritis pengetahuan hanyalah sebuah manifold tunggal. Husserl juga menyebutkan doktrin Riemann tentang manifold adalah berasal dari generalisasi teori geometri. Ia begitu terpengaruh oleh gagasan ini sehingga pada bagian selanjutnya penulis menjelaskan tentang Manifold berdasarkan pandangan Riemann.

G.      Gagasan Riemann tentang Manifold

Riemann mengamati bahwa geometri secara tradisional mengambil konsep ruang dan konsep yang paling dasar untuk konstruksi di ruang angkasa seperti yang diberikan. Selain itu, ia menyatakan bahwa tidak ada baik matematikawan maupun filsuf yang mampu menghilangkan ketidakjelasan terkait dengan konsep seperti itu karena mereka tidak memiliki konsep umum dari besaran kelipatan yang diperpanjang, di mana besaran spasial harus dimasukkan. Tugas utama Riemann adalah untuk memperoleh konsep besaran kelipatan yang diperpanjang dari konsep-konsep umum besaran. Konsekuensi penting dari prosedur ini adalah bahwa besaran kelipatan yang diperpanjang mampu menghubungkan pengukuran yang berbeda, yaitu, mengukur relasi-relasi yang tidak intrinsik dengan besaran kelipatan yang diperpanjang. Ruang fisik, yaitu, ruang dimana kita hidup, hanya kasus besaran kelipatan yang diperpanjang tiga kali lipat. Properti-properti yang membedakan ruang fisik dari besaran kelipatan yang diperpanjang tiga kali lipat lainnya dapat diperoleh hanya dari pengalaman. Dengan demikian, fakta-fakta dari mana hubungan ruang ditentukan adalah, karena setiap fakta, tidak diperlukan, tetapi memiliki hanya kepastian empiris. Pernyataan Riemann merupakan revolusi konseptual yang benar-benar mendalam, lebih matematis dan filosofis dari penemuan geometri non-Euclidean oleh Gauss, Bolyai dan Lobachevsky, di satu sisi, oleh Riemann sendiri, di sisi lain. Pernyataan Riemann merupakan salah satu terobosan terpenting dalam sejarah matematika.

H.      Catatan Singkat Tentang Pandangan Bourbaki Terhadap Matematika

Nicholas Bourbaki adalah nama fiktif dari seorang matematikawan Prancis yang pernyataannya berkembang sekitar tahun 1930-an. Bagian ini menjelaskan gagasan Bourbaki yang bermula dari pernyataan bahwa matematika berada dalam suatu struktur hirarkis. Pertama-tama, terdapat tiga dasar dari (teori himpunan) struktutr matematika: 1) Struktur ibu, yang dinamakan struktur aljabar; 2) struktur konkrit; 3) struktur abstrak. Selanjutnya dijelaskan tentang bagaimana ketiga struktur ini berkembang.

Faktanya adalah konsep milik Bourboki ini sangat mirip dengan konsep Husserl. Perbedaannya hanya pada semesta pembicaraan dalam himpunan pada konsep Bourboki. Khususnya untuk struktur aljabar, konsep ini memainkan peran yang sama baik pada Bourboki maupun Husserl.

I.         Pembagian Tugas Kerja: Filsuf dan Matematikawan

Bagian ini menjelaskan perbedaan tugas antara ilmuan matematika dan filsuf. Pengembangan teknis yang dilakukan oleh ahli matematika harus dilengkapi dengan refleksi epistemologis, bukan hanya termotivasi oleh kepentingan teoritis. Itulah tugas filsuf. Ini adalah hal yang dikhawatirkan para filsuf tentang sifat teori, tentang apa yang membuat kemungkinan teori apapun. Penelitian filosofis didasarkan pada hasil kerja ahli matematika, serta pada hasil yang berasala dari ilmuwan sains, dan merupakan pengetahuan teoritis asli.

J.         Ilmu Pengetahuan Empiris

Husserl menganggap bahwa dalam prosedur ilmu faktual aturan harus ada semacam norma/aturan ideal. Ketika, misalnya, data empiris baru cenderung memiliki teori yang belum dikonfirmasi, kita biasanya tidak menyimpulkan bahwa dasar dari teori itu salah, tapi menyimpulkan bahwa teori itu benar atas dasar data sebelumnya yang saat ini sudah tiak ada lagi. Di sisi lain, Husserl menambahkan, kadang-kadang kita menilai bahwa teori tidak dibangun dengan benar, meskipun teori tersebut adalah satu-satunya yang memadai untuk menyajikan data. Jadi, kesimpulannya bahkan dalam lingkup pemikiran empiris, di mana kita fokus pada data secara probabilitas, ada hukum yang ideal, ''yang didasarkan apriori kemungkinan ilmu pengetahuan empiris secara umum [dan] dari pengetahuan probabilistik realitas''. Selain itu, Husserl juga menekankan ''[seperti] lingkup nomology murni tidak berhubungan dengan gagasan teori dan, lebih umum, adalah kebenaran, tetapi untuk kesatuan penjelasan empiris, masing-masing, dengan ide probabilitas'' dan membangun fondasi penting kedua dari apa yang Husserl sebut logika praktis, dan yang lebih sering disebut metodologi ilmiah (atau logis).

3.        KEJELASAN ISI

Haddock telah menyajikan makalah ini dengan sangat baik. Teori-teori diberikan beserta literaturnya secara lengkap sehingga pembaca tidak perlu mencari informasi dari sumber lain untuk memahami makalah ini. Hanya saja artikel ini memang disajikan untuk pembaca yang memang “orang matematika” atau “orang sains”. Masyarakat biasa yang tanpa ketertarikan terhadap matematika mungkin akan kurang memahami artikel ini, karena isinya banyak memuat materi-materi matematika lanjut.

4.        KESIMPULAN

Dalam kasus ilmu empiris, kita memiliki, di satu sisi, penjelasan fakta dan, di sisi lain, penjelasan dari dalil pada tingkat yang lebih tinggi. Seperti yang telah disebutkan dalam artikel ini, Husserl menyebut dalil yang lebih tinggi tersebut sebagai ''hipotesis fundamento cum di re'' karena hukum empiris sederhana tidak diperoleh melalui prosedur induktif, tetapi hukum teoritis, sebagian berdasarkan pengalaman, tapi diperkenalkan sebagai hipotesis untuk melayani yayasan sebagai penjelas hukum dari tingkat yang lebih rendah. Hukum gravitasi Newton adalah contoh hukum semacam ini. Tapi penjelasan tidak perlu menjadi salah satu deduktif murni. Seperti disebutkan di atas, dalam kasus teori empiris dengan sangat baik bisa menjadi penjelasan probabilistik. Dengan demikian, kita dapat melihat dengan jelas bahwa pandangan Husserl tentang ilmu empiris diantisipasi oleh beberapa dekade diskusi yang mendominasi adegan filosofis untuk sebagian besar dari abad terakhir di tangan empirisis logis, Popper dan lain-lain. Selain itu, poin penting yang dibuat oleh Husserl, yang sangat relevan saat ini, adalah bahwa dalam proses pengetahuan data dipertimbangkan tidak tetap sepenuhnya dan tidak berubah tetapi hanya dimodifikasi. Komentar singkat ini oleh Husserl bisa dijadikan sebagai dasar untuk beberapa diskusi-diskusi: (i) sebagai langkah awal dari pembenaran filosofis teori kuantum saat ini; (ii) sebagai dasar untuk kritik dari filsafat empiristic yang masih didasarkan pada data akal sebagai ''fakta keras unrevisable'' pengalaman; dan (iii) sebagai titik awal dari sebuah epistemologi.

Jurnalnya dapat dilihat disini.

Review Jurnal: "Imre Lakatos’s Philosophy of Mathematics"

A.      JUDUL

Imre Lakatos’s Philosophy of Mathematics

Penulis: Gabor Kutrovaz

B.       ISI/KONTEN

·      Pengantar

Imre Lakatos (1922-1974) dikenal di seluruh dunia oleh setidaknya dua kelompok yang berbeda dari filsuf. Untuk filsuf ilmu pengetahuan, ia adalah pembela besar rasionalitas ilmiah: ia menyerah pada ide rasionalitas metodologis 'instan' dan diganti dengan metodologi historiografi berdasarkan gagasan 'rekonstruksi rasional'. Untuk filsuf matematika, dia adalah seorang penyerang hebat di sekolah formalis, dan bukan fitur formal aksiomatis matematika ia menekankan pada heuristik, proses sejarah bangunan teori dan konseptualisasi. Kedua 'inkarnasi' dari Lakatos jarang dibahas dalam kerangka filosofis yang unik, dan bukan tanpa alasan: Lakatos sendiri tidak pernah benar-benar mencoba untuk menyelaraskan dua bidang ini menarik. Ada tanda-tanda yang menunjukkan bahwa ia dimaksudkan untuk membangun dasar bersama bagi mereka, tapi mungkin proyek ini bahkan tidak bisa mengambil bentuk yang sangat pasti sebelum kematiannya awal.

Dalam tulisan ini penulis berkonsentrasi hanya pada satu topik ini: filosofi matematika; dan tujuan utama penulis adalah untuk memberikan ringkasan singkat dan koheren ide-idenya tentang bidang ini. Perlu dicatat, bagaimanapun, bahwa filsafat matematika dan ilmu pengetahuan jelas memiliki beberapa karakteristik yang sama, karena mereka dibuat oleh orang yang sama, dan tidak pada jarak temporal yang besar dalam kehidupan akademik, ketika ia berada di bawah pengaruh intelektual sangat mirip. Oleh karena itu tujuan sekunder penulis adalah untuk membangun ringkasan ini dengan cara yang sesuai dengan teori filosofis umum ilmu, yaitu, untuk memberikan ringan 'rekonstruksi rasional' dari gagasan.

·      Konteks Filsafat Matematika Lakotos

Dalam Ucapan Terima Kasih dari tesis doktornya tentang filsafat matematika, Lakatos menyebutkan tiga penulis sebagai sumber yang paling berpengaruh bagi filsafatnya. pilihan yang sangat menarik ini menempatkan filsafat ke dalam konteks yang membantu kita memahami motif dan tujuan-Nya. Sumber dia daftar adalah sebagai berikut:

1.    Teori falsificationist Popper. Pada akhir 1950-an dan awal 1960-an, ketika ia bekerja terutama pada filosofi matematika, Lakatos berada di bawah pengaruh yang sangat kuat dari Karl Popper. Popper menggunakan istilah 'Pemalsuan' untuk sanggahan dari teori dengan fakta empiris, dan tesis utamanya adalah bahwa tidak ada verifikasi empiris dari teori-teori ilmiah. Lakatos menerapkan penekanan pada bantahan-bantahan pada disiplin yang diketahui secara eksklusif berbasis bukti, dan menunjukkan bahwa ketika matematikawan melakukan matematika maka mereka sangat sering menolak satu teori sama lain. Penekanan ini akan membawa kita dari gambar ideal matematika (yang bekerja hanya dengan bukti) untuk aktivitas matematika yang sebenarnya.

2.    Heuristik George Pólya. Lakatos diperkenalkan dengan ide-ide Pólya ketika ia masih di Hungaria dan bekerja untuk Matematika Institution. Pólya menekankan peran aturan heuristik dalam praktek yang sebenarnya matematika: perhatiannya adalah matematika informal yang berkaitan dengan cara bagaimana matematikawan mencapai hasil mereka . Lakatos memihak sudut pandang ini hampir tidak ada dalam filsafat matematika, dan menggunakan ide ini di serangannya ke sekolah formalis.

3.    Dialektika Hegel. Pengaruh Hegelian datang sangat awal untuk Lakatos, dalam tahun-tahun universitas di Hungaria, ketika ia menjadi setia terlibat dalam filsafat Marxis Lukacsian dan ideology. Namun, jejak dari ide-ide Hegelian bisa dilihat juga dalam tulisan-tulisan filosofis terbarunya, dan itu sangat hadir dalam filsafat matematika. Dalam pendidikan filosofisnya, Lakatos belajar bahwa penyelidikan subjek tertentu tidak dapat dibatasi untuk studi di bingkai konseptual tetap dari sistem yang kaku, tetapi harus beralih ke dialektika konseptual yang membantu subjek mengembangkan dan menunjukkan dirinya. Dia belajar bahwa stres adalah pada kemajuan, dan bukan pada negara statis; filosofi matematika harus menjadi filosofi pembangunan, bukan kepastian statis - kurang pengetahuan dan lebih dari perkembangan ilmu pengetahuan.

·      Tipe Dasar dari Ilmu Pengetahuan Deduktif

Untuk melihat di mana matematika terletak di peta metodologis dari semua ilmu, Lakatos memberikan klasifikasi ('baik-kerja') ilmu, yaitu sistem aksiomatik-deduktif. Melupakan tentang seluk-beluk klasifikasi, penulis ingin membedakan antara dua tipe dasar, atau dua 'tiang', sistem ini: ada sistem Euclidean, dan di sisi lain ada sistem kuasi-empiris. (Lihat Gambar. 1) Apa yang dimiliki oleh kedua jenis-jenis sistem adalahcaksiomatik-deduktif 'roh'; yaitu, keduanya mengambil beberapa pernyataan sebagai dasar ( 'aksioma') dan mencoba untuk mendapatkan dengan cara pernyataan deduksi logis lanjut ( 'teorema') dari aksioma tersebut. Perbedaan utama terletak pada cara di mana sistem ini terhubung ke 'kebenaran' dan 'kepalsuan' - mengapa kita tetapkan untuk mereka peran epistemologis dan kredibilitas.

·      Kegagalan Epistemoligi Euclidean

Berikutnya (dan, menurut Lakatos, mudah-mudahan yang terakhir) upaya membangun kerangka Euclidean untuk matematika adalah Program formalis David Hilbert. Jika kegagalan program logicist adalah karena inkonsistensi yang melekat, tugas utama adalah untuk memastikan konsistensi untuk matematika. Oleh karena itu filsuf formalis mengidentifikasi teori matematika dengan sistem formal murni sintaksis (bate) yang harus memenuhi dua syarat utama: (i) kalkulus harus konsisten, dan (ii) itu harus lengkap sehubungan dengan negasi, yaitu, satu keharusan bisa baik membuktikan atau menyangkal setiap teorema terdiri di dalamnya (menemukan benar atau salah dengan 'intuitif', kurang metode formal).

Alih-alih membahas upaya dan kegagalan lebih lanjut dan kurang penting, Lakatos menarik kesimpulan secara historis berdasarkan (yang tidak logis yang ketat, tetapi ditunjukkan oleh pertimbangan sebelumnya) bahwa matematika bukanlah ilmu Euclidean. Ini berarti, di satu sisi, bahwa matematika tidak sempurna: kami tidak dapat menemukan mekanisme yang menjamin kebenaran yang diperlukan dari aksioma. Ini juga berarti, di sisi lain, matematika tidak murni demonstratif: aksioma tidak bisa membawa wewenang yang diperlukan yang akan membuat metode pembuktian kredibel, kita sering mencari aksioma yang cocok untuk memastikan keabsahan teorema tertentu kami ingin membuktikan. (Memodifikasi atau meninggalkan laporan dasar sanggahan, kebalikan epistemologis bukti.) Akhirnya, matematika tidak dapat murni formal, karena sistem formal tidak bisa hidup sampai dengan harapan dasar kita ingin membesarkan mereka.

·      Pertautan Antara Filosofi dan Sejarah Matematika

Apa yang kita lihat pertama, memiliki melihat sejarah matematika setelah analisis ini kegagalan sekolah formalis ini, adalah bahwa teori matematika tidak diberikan kepada kita sebagai bate formal. Sebaliknya, bate formal dibangun oleh matematikawan untuk ketat membuat konsep teori informal. Selalu ada teori resmi sebelum sistem formal, dan sifat teori jelas ini dibersihkan persis dengan memperbaiki kerangka formal. Selain itu, proses formalisasi ini adalah sangat mekanisme penemuan matematika: pertumbuhan pengetahuan matematika dicapai dengan membangun rekening resmi intuisi informal. Mengenai epistemologi lagi, kebenaran teori matematika karena itu dikurangi menjadi kebenaran informal teori ini, tapi pertanyaan kedua ini tidak dijawab oleh Lakatos dalam satu cara tradisional yang unik.

·      Metode Pembuktian

Tulisan paling penting Lakatos tentang filosofi matematika adalah Bukti dan Refutations, serangkaian artikel (kemudian diterbitkan sebagai buku) bahwa ia telah mengekstrak dari (kedua) disertasi doktor-Nya berjudul Essays on Logika Discovery Matematika (Cambridge, 1961). Bagian utama dari pekerjaan ini adalah studi kasus, sebuah 'rekonstruksi rasional' dari proses sejarah yang, menurut penulis, adalah sangat cocok untuk menggambarkan pertumbuhan pengetahuan matematika.

Langkah-langkah utama dari proses umum pembuktian adalah sebagai berikut (lihat Gambar 2.):

1. Dugaan Naif. penelitian matematika selalu dimulai dari masalah (dan perlu dicatat bahwa selalu berakhir di masalah juga). Masalahnya adalah pengakuan intuitif beberapa keteraturan atau koneksi yang tidak dapat diungkapkan dalam terdefinisi dengan baik, batas formal teori yang ada. Oleh karena itu, ekspresi dugaan naif tidak berarti kemungkinan bukti: kita membutuhkan teori formal di mana pernyataan itu dapat menjadi teorema terbukti. (Sumber ‘Pengakuan' ini dapat beragam dan kontingen, dan mereka tidak menarik bagi filosofi matematika -. Seperti yang kita amati ketika kita meniadakan epistemologi)

2. Analisis Bukti. Tujuannya sekarang adalah untuk membangun sebuah teori formal dimana dugaan naif dapat dinyatakan secara tepat dan terbukti dengan cara deduksi. Pertama kita memberikan bukti 'naif' untuk pernyataan kami, sebuah 'intuitif' demonstrasi validitas umum. Dalam kasus kami demonstrasi ini adalah argumen Cauchy: melihat polyhedrons sebagai lembaran karet, jika kita membayangkan bahwa kita memotong mereka sepanjang salah satu tepi dan meregangkan mereka datar, kita bisa 'melihat' bahwa pernyataan itu benar. Tapi komunitas matematika akan menyalahgunakan longgarnya ini 'lembaran karet' gagasan polyhedrons, dan mereka akan dengan mudah datang dengan tandingan: kasus yang dugaan tersebut tidak memiliki. Semua kritik dan kontra-kritik menjadi penting sekarang, mereka adalah mesin dari evolusi theories.

Counter-example dapat dibagi menjadi dua kelompok utama: kontra lokal dan global examples, yang lokal adalah mereka yang tidak menyangkal Teorema kami 'pada umumnya, mereka hanya membantah salah satu lemma tersembunyi' secara tidak sadar mereka termasuk di dalam formulasi teorema kami. Dalam hal ini kita mengganti ' lemma-contra' dengan satu sama lain yang sekarang tidak termasuk keabsahan Counter-example. Global yang Counter-example, di sisi lain, adalah orang-orang yang membantah teorema awal kami. Namun, kita tidak membuang teorema dan bukti, tetapi kami memodifikasi konsep dan gagasan yang terlibat, atau membuatnya lebih tepat apa pernyataan tentang (mis apa polyhedrons yang).

Dengan cara ini, melalui interaksi dialektis bukti, bantahan-bantahan dan bukti analisis, sistem formal konsep yang tepat secara bertahap dibuat, dan ini akan membentuk teori matematika formal baru.

3. Teori deduktif. Akhirnya, 'program penelitian' berakhir di teori formal baru. Semua makna istilah yang tetap dalam sistem aksiomatik, dan banyak teorema (mungkin termasuk yang asli) dapat disimpulkan. (Dalam studi kasus kami, teori baru adalah sistem aksiomatik algebraic topology -. Lihat Bukti dan Refutations) Dalam tahap terakhir ini, aktivitas matematika direduksi menjadi 'penyelesaian teka-teki' (dimana pada teorema dapat dibuktikan lewat teori), dan tidak ada masalah menarik akan muncul. Untuk filosofi formailst matematika, ini adalah satu-satunya yang menarik, bentuk nyata kegiatan matematika - untuk Lakatos, ini adalah salah satu yang paling membosankan dan paling menarik.

Perlu dicatat bahwa, menurut Lakatos, skema yang sama pembangunan dapat ditunjukkan dalam kasus matematika Yunani kuno juga, bagi evolusi geometri dari Thales ke Euclid. Dan, bahkan lebih menarik, Lakatos berpendapat untuk validitas dari skema ini untuk kelahiran fisika modern: dari 'dugaan naif' Kepler (yang tidak dapat dibuktikan dalam teori fisik yang ada pada saat itu pengakuan mereka) untuk yayasan aksiomatik Newton mekanika. Ada beberapa tanda-tanda, seperti yang telah disebutkan dalam Pendahuluan, yang, dalam beberapa tahun terakhir hidupnya, Lakatos tidak melihat matematika dan ilmu pengetahuan alam yang berbeda, baik dalam metodologi maupun dalam subjek - tapi, penulisannya, untuk formulasi eksplisit ini dia tidak cukup waktu yang tersisa sebelum kematiannya.

C.       KEJELASAN ISI

Kutrovátz telah menyajikan makalah ini dengan sangat baik. Teori-teori diberikan beserta literaturnya secara lengkap sehingga pembaca tidak perlu mencari informasi dari sumber lain untuk memahami makalah ini. Penulis menjelaskan dengan baik bagaimana dasar-dasar filosofi matematika Lakatos berkembang. Apa yag dituliskan telah sesuai dengan tujuan penulisan dimana pembaca diharapkan untuk memahami bagaimana filosofi Lakotos berkembang. Tata bahasa dan cara penyampaian yang baik membuat pembaca setelah membaca artikel ini dapat mengenal pikiran filosofis Imre Lakotos.

D.       KESIMPULAN

Tampaknya sangat mungkin bahwa orisinalitas dan wawasan yang mendalam dalam filsafat Lakatos adalah sebagian karena pelatihan sangat beragam dan bervariasi: dari filsafat Hegelian-Lukacsian untuk cara analitis resmi Cambridge argumentasi, ia menerima pengaruh yang sangat berbeda selama hidup akademisnya. Ini secara resmi bertentangan views melahirkan sangat hidup dan ide-ide yang efisien dalam filsafat, meskipun ia tidak pernah mengambil kesempatan untuk mengklarifikasi final, sistem filsafat yang lengkap - sesuatu yang ia mengesampingkan sebagai tidak menarik dalam kasus teori matematika. Hal ini agak pendekatan dari laporan aktual yang harus dihargai tertinggi di antara semua yang kita warisi dari ide-idenya: penekanan pada dimensi sejarah; pengabdian untuk perkembangan dan kemajuan; dan upaya untuk melihat matematika bukan sebagai hal formal yang asing bagi kita tapi seperti yang dikerjakan oleh ahli matematika. Dia membawa turun matematika dari kesempurnaan ilahi yang seharusnya diberikan ke dunia manusia yang bertanggung jawab untuk pencapaian gelar yang lebih tinggi dari kesempurnaan-yang adalah, karena tampaknya menjadi, sebuah revolusi Copernican dalam filsafat matematika.

Jurnalnya dapat dilihat disini.

Review Jurnal: Copernicanism in the Classroom: Jesuit Natural Philosophy and Mathematics after 1633

1.        JUDUL

Copernicanism in the Classroom: Jesuit Natural Philosophy and Mathematics after 1633

Penulis: Rene J. Rapael (2015)

2.        ISI/KONTEN

A.      Pendahuluan

Artikel ini membahas presentasi dari sistem Copernican dalam kursus filsafat alam dan matematika di Jesuit Collegio Romano selama abad ketujuh belas. Filasafat matematika Copernican ini diajarkan oleh Profesor Jesuit. Pada pembahasan selanjutnya menceritakan bagaimana filsafat matematika diajarkan selama periode sebelum dan setelah 1633, dimana pada saat itu adalah tahun-tahun dimana Galileo’s Dialogo banyak diperdebatkan.

B.       Mengajarkan Copernicanisme Sebelum 1633

Collegio Romano didirikan pada 1551 oleh Ignatius Loyola (1491-1556). Pada abad ketujuh belas, college ini berdiri di tengah-tengah jaringan internasional yang luas dari Jesuit yang bertujuan untuk menyediakan pendidikan yang ketat dan ortodoks yang ditawarkan secara gratis. Pada masa sebelum 1633, pengajaran filsafat matematika di Collegio Romano banyak dipengaruhi oleh gereja.

Astronomi dan kosmologi, mata pelajaran yang berhubungan dengan struktur dan gerakan langit, itu ditujukan di dua tempat dalam kurikulum seni universitas. Yang pertama adalah dalam studi filsafat, khususnya dalam pembacaan dari Aristoteles De caelo. Materi terkait juga diajarkan sebagai bagian dari kurikulum matematika yang berurusan dengan astronomi. Pada Collegio Romano, filsafat diajarkan di urutan 3 tahun, yang terdiri dari logika, filsafat alam, dan metafisika, dan didasarkan pada tulisan-tulisan Aristoteles. Matematika diajarkan baik dalam kuliah umum selama setahun dan secara pribadi. Kontribusi ini berfokus pada pengajaran umum dari kedua filosofi dan matematika, yang dibuktikan dalam kedua buku dicetak dan catatan naskah. Lebih dari 20 individu diajarkan matematika di Collegio Romano 1600-1700, dan lebih dari 50 diajarkan dalam 3 tahun.

Banyak sumber yang mengungkapkan bahwa banyak profesor sedikit memberikan perhatian untuk hipotesis Copernicus dalam mengajar sebelum munculnya publikasi Galileo Dialogo di 1632. Hipotesis Copernicus yaitu pernyataan bahwa bumi adalah bulat dan bumi beserta planet-planet berputar mengelilingi matahari sebagai pusat tata surya.

C.       Galileo’s 1632 Dialogo dan Kecaman yang Dihasilkan

Pada dekade awal abad ketujuh belas, pengamatan fenomena langit baru sangat diminati, termasuk nova dari 1572, 1600, dan 1604, bersama dengan teleskopik Galileo, yang dipimpin profesor untuk mengubah isi tradisional dalamajaran filsafat dan matematika murni. Selanjtnya pada awal 1632, Galileo mengeluarkan sebuah Dialogo tentang dukungannya terhadap teori Copernican. Hal ini menyebabakan teori ini semakin sering diajarkan pada Collego.

Hal ini juga ditandai dengan penerbitan sebuah Diagram Copernican. Selain pendukung, ada juga profesor di Collego yang menolak Copernicus diantaranya adalah Gabriel Beati. Dia mengeluarkan sebuah bantahan yang berjudul "Atas perintah atau sistem langit," dimana disini Beati juga menambahkan rincian untuk deskripsi dari sistem Copernican, termasuk periode rotasi setiap planet di sekitar matahari.

            Dibalik penolakan-penolakan tersebut perkembangan terus terjadi. Copernicanisme mengambil peran baru dalam kurikulum filosofis alami juga, karena profesor filsafat mulai mengatasi subjek dalam pengajaran mereka untuk pertama kalinya. Mereka melakukannya dengan mengambil alih pertanyaan istirahat dan sentralitas bumi, topik yang ditemukan secara eksklusif dalam kurikulum matematika awal abad ini. Dalam karyanya 1658 Quaestiones Philosophicae, misalnya, profesor filsafat Sylvester Mauro membahas topik tradisional termasuk dalam komentar pada De caelo tentang sifat fisik dari langit dan benda-benda langit. Teks yang diterbitkan Mauro menggambarkan dua perkembangan dalam mengajar kosmologis Jesuit di abad ketujuh belas Roma.

            Seperti telah dikatakan pada bagian sebelumnya bahwa perkembangan filsafat di wilayah ini dangat dipengaruhi oleh gereja katolik Roma. Setiap perkembangan selalu dikaitkan dengan alkitab. Dalam buku filosofisnya, Mauro menjelaskan bahwa beberapa bagian kitab suci memang memerlukan interpretasi figuratif. Ia berpendapat bahwa banyak Copernicans mengambil keuntungan dari fakta ini untuk mengklaim bahwa ayat-ayat kitab suci sering dikutip harus ditafsirkan non-harfiah dan bahwa mereka dengan demikian tidak bertentangan dengan hipotesis ocentric heli. Dalam kata-katanya, Copernicans ini membuat argumen bahwa kutipan tersebut menyiratkan bahwa "langit tampaknya dipindahkan dan Bumi rupanya sedang beristirahat," seperti "ketika Kitab Suci menyebut lampu besar Matahari dan Bulan, [ayat-ayat ini] harus dipahami menurut penampilan. "Mauro diberhentikan analogi ini dengan komentar-ing singkat tentang cara untuk membedakan antara ayat-ayat kitab suci yang memerlukan penafsiran alegoris dibandingkan dengan mereka yang dapat dibaca secara harfiah.

            Argumen fisik dan pengamatan baru juga masuk dalam diskusi ini. Galileo Dialogo dan tanggapan untuk itu membentuk bagian tengah dari argumen ini. Profesor fokus mengajar mereka pada diskusi Galileo dari gerak proyektil di permukaan bumi dan pada teori pasang. Mereka menanggapi klaim Galileo dengan menggambar pada reaksi kontemporer untuk mereka. Teori Galileo tentang pasang surut air laut terutama kondusif untuk sanggahan, karena diketahui tidak benar. Disepanjang hidupnya Galileo telah menjelaskan naik dan turunnya pasang surut melalui analogi antara gerakan air di lautan bumi dan air di bagian bawah dari perahu, yang bergantian dipercepat dan melambat. Pada 1696-nya Latihan Physicomathematical, profesor Jesuit dibidang filsafat alam dan matematika, Antonio Baldigiani berubah pembahasannya tentang pasang surut Bumi menjadi perdebatan tentang validitas hipotesis Copernicus.

Profesor di Collegio Romano, bagaimanapun, mengaburkan perbedaan antara dua pertanyaan. Pada tingkat yang paling jelas, profesor filsafat mengandalkan teks Riccioli sebagai sumber dalam bidang astronomi. Profesor dari matematika dan filsafat juga menggunakan bukti yang dikutip oleh Riccioli dalam pembahasannya tentang Copernicanism sebagai sistem dunia dalam perawatan mereka sendiri.

D.      Penilaian Ulang Narasi Kecaman Galileo dan Awal Ilmu Pengetahuan Modern

Bagian ini menjelaskan tentang bagaimana Jesuit ini secara tidak sengaja memfasilitasi jenis interaksi plinary lintas-murid yang menurut banyak alasan, ingin mereka cegah. Diskusi dari Copernicanism memasuki ruang kelas matematikawan dan filsuf karena profesor tersebut berkomitmen untuk menegakkan diterima trimurti dokter yang. Akibatnya, matematikawan ditujukan sebagai filosofis dan teologis, sementara filsuf membawa pertanyaan dan bukti dari teks matematika. Transformasi yang dihasilkan harus dilihat bukan sebagai manuver dihitung pada bagian matematikawan untuk meningkatkan status mereka, melainkan sebagai pertukaran canggih dan perdebatan. Filsuf alam dan matematika tidak menempati dua kubu yang berlawanan. Sebaliknya, mereka beroperasi sebagai pemain di rumah di kedua posisi, menggambar pada bukti dan pertanyaan dari kedua tradisi karena mereka ditangani masalah yang lebih besar tentang bagaimana untuk menegakkan keputusan Gereja tetap menyediakan kurikulum yang up-to-date untuk siswa mereka. Cara kedua kelompok mendekat bersama-sama dengan meminjam pertanyaan dan menggambar pada set yang sama dari sumber. Namun menjelaskan bagaimana transformasi ini terjadi memerlukan melihat lebih dekat pada mekanisme dan motivasi khusus untuk setiap konteks historis dan lokal. Pada abad ketujuh belas Collegio Romano dan sehubungan dengan pertanyaan dari hipotesis Copernicus, apa mungkin melaju mathematization filsafat alam - Atau philosophication matematika - mungkin kurang kerinduan untuk status yang lebih tinggi dan lebih fakta bahwa kedua filosof alam dan matematika yang bekerja sama untuk mencoba melakukan sesuatu yang sama sekali berbeda.

3.        KEJELASAN ISI

Penulis menuliskan artikel ini dengan jelas, baik dari segi kronologis maupun catatan sejarah. Apa yag dituliskan telah sesuai dengan tujuan penulisan dimana pembaca diharapkan untuk memahami bagaimana penolakan dan penerimaan hipotesis Coperncus berkembang pada era katolik di Roma, dimana pada saat itu semua perkembangan ilmu pengetahuan sangat dipengaruhi oleh aturan gereja.

4        KESIMPULAN

Artikel ini menjelaskan bagaimana filsafat dan matematika berkembang secara bersamaan dan saling mempengaruhi khususnya pada era Copernicus dan Galileo. Filsuf dan matematikawan saling mendukung dalam melaksanakan tugas mereka masing-masing. Penulis menggambarkan bagaimana kondisi perkembangan ilmu pengetahuan di Roma pada era kekuasaan gereja, dimana saat itu adalah pencarian jati diri bumi dan dan benda langit. Tentu saja perkembangan matematika tidak terlepas dari hal ini, karena semua pertanyaan-pertanyaan itu akhirnya dijawab dengan argumen-argumen fisika dan persamaan-persamaan matematika.

Jurnalnya dapat dilihat disini