Peluang

Salam BeMath!

Be a Mathematical Thinker!

PENGERTIAN PELUANG

Sumber: www.independent.co.uk

Kesempatan kali ini saya akan membahas materi Peluang. Apakah kalian pernah mendengar kata peluang? Bagi kamu yang memiliki hobi menonton pertandingan sepak bola atau Motor GP mungkin pernah mendengar istilah ini. 

"Peluang kemenangan Tim Barcelona pada pertandingan kali ini kurang dari 50%. Hal ini karena andalan Tim, Lionel Messi, sedang mengalami cedera tulang kaki dan akan beristirahat sepanjang musim.

"Melihat hasil pertandingan pada dua race terakhir, Rossi memiliki peluang 75% untuk berada diposisi tiga besar."

Apa sih sebenarnya PELUANG itu?

Sederhananya, jika dalam suatu pertandingan antara dua tim seperti Sepak Bola, maka kedua tim diakhir pertandingan hanya memiliki dua kemungkinan, (1) menang atau (2) kalah. Dari sisi kedua tim, peluang untuk menang adalah 1 diantara 2 kemungkinan. Ditunjukkan dengan angka  atau 50%. Bagaimana dengan peluang tim untuk kalah? Karena Kalah merupakan 1 diantara 2 kemungkinan maka peluangnya juga .

Contoh lainnya, jika dalam suatu pertandingan motor GP terdiri dari 12 orang peserta, maka terdapat 12 kemungkinan nama yang akan bertengger diposisi pertama pada akhir putaran. Ini berarti, jika Rossi merupakan salah satu peserta pada pertandingan tersebut, maka peluang namanya ada diposisi pertama adalah 1 dari 12 kemungkinan. Ditunjukkan dengan angka .

Mudah kan?

Selanjutnya kita akan melihat secara detail apa yang dimaksud dengan Peluang dalam Matematika dan bagaimana cara penentuannya. 

Berdasarkan kedua contoh di atas, pernyataan tentang "kemungkinan" dari suatu kejadian itulah yang dinamakan dengan peluang. 1) Peluang kejadian "menang" pada pertandingan sepak bola; dan 2) Peluang kejadian "nama pemain berada pada posisi pertama".

Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa,

“ Peluang adalah nilai/angka yang menunjukan kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Angka ini diperoleh sebagai perbandingan banyaknya kejadian dengan seluruh kejadian yang ada pada suatu kondisi“

Bagaimana, paham kan apa itu peluang?

Jika belum, silahkan ulangi kembali penjabaran di atas yaa.

Jika sudah, ayo Lanjut!

RUANG SAMPEL DAN TITIK SAMPEL

Penentuan peluang suatu kejadian bergantung pada jumlah kejadian yang akan dicari peluangnya dan total seluruh kejadian. Berdasarkan kebutuhan ini, munculah istilah titik sampel dan ruang sampel. Misalnya, kita sedang mengamati suatu kumpulan kejadian atau percobaan.

Ruang Sampel adalah himpunan dari semua kejadian (hasil percobaan) yang mungkin terjadi dalam pengamatan kita.

Ruang sampel disimbolkan dengan S. Sehingga n(S) menyatakan banyaknya anggota ruang sampel (Ingat kembali materi himpunan, Kelas 7).

Titik Sampel adalah anggota yang ada di dalam ruang sampel

Apa perlunya kita mengetahui ruang sampel dan titik sampel?
Kembali ke contoh di atas:

Contoh 1
Kejadian: Hasil pertandingan dua Tim Sepak Bola

    Ruang Sampel = {menang, kalah}

    Menang merupakan titik sampel 

    Kalah merupakan titik sampel

    Banyaknya anggota ruang sampel = n(S) = 2

    Kejadian Menang muncul 1 kali, ini berarti jika himpunan kejadian Menang kita misalkan dengan  A, maka n(A) = 1. Berdasarkan informasi ini kita dapat menentukan peluang kejadian Menang yaitu .

Contoh 2
Kejadian: Nama pemain yang berada di posisi pertama pada akhir putaran Motor GP

    Ruang Sampel = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, Rossi}

    Rossi merupakan titik sampel 

    F merupakan titik sampel, dll.

    Banyaknya anggota ruang sampel = n(S) = 12

    Kejadian muncul nama Rossi pada pososisi pertama adalah 1 kali, ini berarti jika himpunan kejadian muncul nama Rossi pada pososisi pertama kita misalkan dengan B, maka n(B) = 1. Berdasarkan informasi ini kita dapat menentukan peluang kejadian muncul nama Rossi pada pososisi pertama yaitu .

Sudah mulai terang benderang kan pemahaman kalian tentang Peluang... :) 

Lanjut ke contoh berikutnya!

Contoh 3
Kejadian: Pelemparan sebuah dadu.

Diketahui bahwa dadu memiliki 6 sisi yaitu sisi 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. Jadi, ketika kalian melempar sebuah dadu, maka keenam angka itulah yang MUNGKIN akan muncul. Jadi, kita dapat mengetahui:   

    Ruang Sampel = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

   n(S) = 6

    Misalkan C adalah kejadian munculnya mata dadu angka genap. Maka C = {2, 4, 6} sehingga           n(C) = 3. Kita dapat menyimpulkan peluang kejadian munculnya mata dadu

 angka genap adalah   atau .

PELUANG SUATU KEJADIAN

Berdasarkan contoh-contoh di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa peluang kejadian A atau P(A) dapat  ditentukan dengan rumus:

Rumus Peluang suatu kejadian 

Dengan :
P(A) = Peluang kejadian A
n(A) = Banyaknya anggota kejadian A atau Jumlah titik sampel kejadian A pada S
n(S) = Banyaknya anggota Ruang sampel 

Setelah memahami cara menentukan peluang suatu kejadian, hal berikutnya yang harus kalian kuasai adalah bagaimana menentukan anggota ruang sampel. Jumlah anggota ruang sampel dapat ditentukan dengan melihat banyaknya anggota pada setiap himpunan yang terlibat. Jika hanya satu himpunan yang terlibat seperti ketiga contoh yang sudah kalian pelajari, maka anggota ruang sampelnya sama dengan anggota himponan yang terlibat. Bagaimana jika himpunan yang terlibat lebih dari satu?
Ayo kita simak contoh berikut!

Contoh 4

Rani mengikuti bimbingan belajar setiap hari Senin sore. Untuk pergi ke tempat bimbel, ia memiliki beberapa pasang sepatu dan dress yang dapat dia pasangkan sesuai selera. Rani memiliki 3 pasang sepatu berwarna hitam, coklat, dan abu-abu, serta empat buah dress berwarna kuning, ungu, hijau, dan biru. Dapatkah kalian menentukan semua pasangan sepatu-dress yang mungkin digunakan Rani pada hari Senin? Berapakah besar peluang ia akan menggunakan dress dengan sepatu berwarna coklat?

Kemungkinan pasangan sepatu-dress yang akan digunakan Rani adalah:

		DRESS
		Kuning (K)	Ungu (U)	Hijau (Hj)	Biru (B)
SEPATU	Hitam (H)	(H,K)	(H,U)	(H,Hj)	(H,B)
	Coklat (C)	(C,K)	(C,U)	(C,Hj)	(C,B)
	Abu-Abu (A)	(A,K)	(A,U)	(A,Hj)	(A,B)

Semua anggota ruang sampel terlihat di dalam tabel sebagai pasangan sepatu-dress. 
Jumlah anggota ruang sampel
n(S) = 12
Selanjutnya, misalkan C adalah himpunan kejadian Rani menggunakan dress dengan sepatu warna coklat. Pada tabel, C ditandai dengan warna kuning.

		DRESS
		Kuning (K)	Ungu (U)	Hijau (Hj)	Biru (B)
SEPATU	Hitam (H)	(H,K)	(H,U)	(H,Hj)	(H,B)
	Coklat (C)	(C,K)	(C,U)	(C,Hj)	(C,B)
	Abu-Abu (A)	(A,K)	(A,U)	(A,Hj)	(A,B)

n(C) = 4
Sehingga diperoleh,

Jadi, peluang Rani menggunakan dress dengan sepatu coklat di Hari Senin adalah . Kita juga dapat mengatakan peluang Rani menggunakan dress dengan sepatu coklat di Hari Senin adalah sebesar 33,33%
Cat: Persentase diperoleh dengan mengubah pecahan  kebentuk persen.

CARA MENENTUKAN RUANG SAMPEL

Bagaimana cara menentukan ruang sampel? Ada banyak cara, diantaranya adalah dengan menghayalkannya di Otak kamu, wkwkwkwk... (Serius!). Bagi matematikawan yang sudah Expert menentukan ruang sampel akan semudah memilih Hero dalam ML. Tapi tentunya kemampuan itu tidak didapatkan dengan cuma-cuma. Butuh latihan bertahun-tahun sampai bisa mencapai skill dewa seperti itu.

Nah, sebelum kamu bisa mengikuti jejak mereka, berikut ini dijabarkan beberapa cara yang dapat kamu gunakan untuk mendaftar semua anggota dari suatu ruang sampel.

1. Dengan cara mendaftarkan satu-persatu.
Cara ini merupakan cara sederhana untuk jenis masalah yang levelnya Zero (0) ke bawah (Emang ada???). Alias untuk masalah-masalah terkait peluang yang masih sangat simple atau dasar. Contohnya seperti yang sudah kamu pahami di contoh 1 - 3 (Ada lah...). 


2. Dengan menggunakan diagram pohon.

Sumber: www.thecalculatorsite.com
Bukan dengan membuat pohon beneran ya. Tapi dengan membuat diagram yang bercabang layaknya ranting-ranting pohon. Cara ini biasanya digunakan untuk masalah-masalah yang tingkat kesulitannya menengah ke bawah (seperti Status ekonomi rakyat, wkwkwk...). Penggunaan diagram pohon digunakan jika Himpunan yang terlibat dalam suatu percobaan/kejadian itu lebih dari satu himpunan.
Contoh 5
Ruang sampel dari pelemparan 3 buah Uang Koin secara bersamaan. 
Setiap uang koin memiliki 2 kemungkinan yaitu muncul sisi Angka (A) dan muncul sisi Gambar (B). Jika tiga uang koin dilempar secara bersamaan maka kemungkinan kejadian yang muncul (ruang sampel) dapat dijabarkan pada diagram pohon berikut.


                                                               Koin I     Koin 2   Koin 3

Berdasarkan diagram ini kita dapat melihat bahwa
S = {(A,A,A), (A,A,G), (A,G,A), (A,G,G), (G,A,A), (G,A,G), (G,G,A), (G,G,G)}
Titik sampel (A,A,G) menunjukkan bahwa pada koin pertama muncul sisi Angka, koin kedua muncul sisi Angka, dan koin ketiga muncul sisi Gambar.
3. Dengan menggunakan tabel.
Penggunaan tabel sangat dibutuhkan untuk masalah-masalah yang kesulitannya tergolong menengah ke atas (kecuali bagi para expert). Meskipun pada aplikasinya, penggunaan tabel atau diagram pohon bergantung pada kenyamanan (keahlian) si pemecah masalahnya. Sama seperti pada diagram pohon, cara ini baiknya digunakan untuk masalah yang melibatkan dua atau lebih himpunan. 
Contohnya diantaranya dapat kamu lihat pada contoh 4 yang sudah kita bahas sebelumnya.

BATASAN NILAI PELUANG

Apakah ada kejadian yang memiliki peluang 2? atau adakah kejadian yang berpeluang -1?

Jawabannya adalah:
TIDAK.

Kita dapat melihat kembali bahwa suatu kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampelnya (Perhatikan contoh 1 - 4). Selain itu, telah diketahui bahwa himpunan kosong (n = 0) dan himpunan itu sendiri merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Perhatikan dua kasus ini:
(i) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian suatu himpunan
Contoh 6
Misalkan,
S = Himpunan hewan
A = Himpunan ikan yang berkembang biak dengan cara beranak
Jelas kita mengetahui bahwa A merupakan himpunan bagian dari S dan A merupakan himpunan kosong karena semua ikan berkembang biak dengan cara bertelur sehingga n(A) = 0. (Ingat kembali bahwa paus dan lumba-lumba bukan tergolong Ikan)
Dari sini kita dapat menentukan

(ii) Suatu Himpunan  merupakan himpunan bagian dirinya sendiri
Berdasarkan semua contoh yang telah disajikan, kita dapat menentukan

Berdasarkan kedua kasus ini kita dapat meilihat bahwa nilai peluang terkecil adalah 0 dan terbesar adalah 1. Kesimpulannya, 

”Peluang suatu kejadian bernilai antara 0 dan 1, atau dapat dituliskan
0 ≤ P(A) ≤ 1 “

Selain penjelasan berdasarkan kasus di atas, suatu kejadian A dikatakan memiliki peluang nol atau
P(A) = 0 jika kejadian A mustahil untuk terjadi. Sebaliknya, suatu kejadian A dikatakan memiliki peluang 1 atau P(A) = 1 jika kejadian A pasti akan terjadi.

Contoh kejadian yang mustahil :
– Matahari terbit dari barat
– Gajah bertelur

Contoh kejadian pasti terjadi :
– Matahari terbit dari timur
– Terjadinya malam dan siang hari


Oke, sampai disini dulu perkenalan tentang Materi Peluang, selanjutnya kita akan membahas lebih jauh tentang Peluang Kejadian Bersyarat.

Jika kamu telah siap, kamu dapat mencoba menjawab beberapa masalah tentang peluang (klik disini untuk latihan pemecahan masalah)

Salam BeMath dan Semoga Bermanfaat!